Simetría axial y simetría central

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Una simetría axial de eje $e$ es una transformación, por tanto a todo punto $P$ ddel plano le corresponde otro punto $P^{'}$ también del plano, de manera que el eje $e$ sea mediatriz del segmento $P P^{'}$ . Las simetrías axiales son isometrías inversas porque conservan las distancias entre sus puntos y sus homólogos, pero su orientación es la inversa. La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, sino también en las figuras que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, $A^{'}$ es homólogo de $A$ , $B^{'}$ es homólogo de $B$ y $C^{'}$ es homólogo de $C$ . Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.

Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

A continuación vamos a dar la expresión en coordenadas de las simetrías axiales.

Sean $P = (x, y)$ y $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ dos puntos del plano, vamos a dar su expresión en coordenadas en función de la posición de su eje:

El eje de simetría es el eje de ordenadas:

En este caso la representación algebraica de la transformación se puede hacer mediante el siguiente sistema:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Ejemplo

A continuación, vamos a calcular el simétrico del punto $P$ mediante una simetría cuyo eje es el eje de ordenadas. Sea $P = (2, 2)$ un punto del plano, entonces su simétrico se calcula mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = 2 \end{cases}$

Por lo tanto, el punto simétrico respecto el eje de ordenadas es el punto $P^{'} = (- 2, 2)$ .

El eje de simetría es el eje de abscisas:

En este caso la representación algebraica de la transformación se puede hacer mediante el siguiente sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Ejemplo

Seguimos con el ejemplo anterior, recordemos que teníamos un punto $P$ de coordenadas $(2, 2)$ y en el ejemplo anterior habíamos calculado su simétrico respecto el eje de ordenadas. Ahora vamos a calcular su simétrico respecto al eje de abscisas, y a este nuevo punto lo llamaremos $P^{″}$ . Sus coordenadas, las vamos a calcular mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = 2 \\ y^{'} = - 2 \end{cases}$

Por lo tanto, el punto simétrico respecto al eje de abscisas es el $P^{″} = (2, - 2)$ .

Vamos a ver ahora que pasa con la composición de simetrías axiales:

La composición de dos simetrías con los ejes paralelos $e$ y $e^{'}$ es una traslación, cuyo vector tiene la longitud el doble de la distancia entre los ejes, la dirección es perpendicular a los ejes y su sentido es el que va de $e$ a $e^{'}$ .
La composición de dos simetrías con los ejes perpendiculares $e$ y $e^{'}$ es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

Ejemplo

Recuperamos el punto $P = (2, 2)$ vamos a aplicarle una simetría respecto el eje de ordenadas y luego una simetría respecto al eje de abscisas. Por el último ejemplo, el punto simétrico por el eje de ordenadas era el punto $P^{'} = (- 2, 2) .$ Entonces, para calcular el simétrico respecto el eje de abscisas, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = - 2 \end{cases}$

Si primero hacemos la simetría respecto el eje de abscisas y luego la simetría respecto el eje de coordenadas, llegaremos al mismo punto $Q = (- 2, - 2)$ . Como veremos más seguidamente, esta transformación se le llama simetría axial.

UUna simetría central, de centro el punto $O$ , es un movimiento del plano con el que a cada punto $P$ del plano le hace corresponder otro punto $P^{'}$ , siendo $O$ el punto medio del segmento de extremos $P$ y $P^{'}$ . NNótese que una simetría central equivale a un giro de $180^{\circ}$ .

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

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A continuación vamos a ver la expresión en coordenadas de una simetría central variando el centro de simetría.

Coordenadas mediante una simetría de centro $O = (0, 0)$ :

En la siguiente imagen vemos como se comporta una simetría central con centro el origen de coordenadas de un punto:

A continuación, se ve un triángulo y su homólogo mediante una simetría central:

En los dos casos, la transformación tiene asociado el siguiente sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Ejemplo

Dado el segmento $A B$ dado por los puntos $A = (1, 0)$ y $B = (2, 3)$ , vamos a calcular su simétrico respecto el centro de coordenadas. Para hacerlo, calcularemos los simétricos de los puntos $A$ y $B$ . En efecto, el simétrico de $A$ es $A^{'}$ :

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 1 \\ y^{'} = 0 \end{cases}$

Por lo tanto, $A^{'} = (- 1, 0)$ . El simétrico del punto $B$ es $B^{'}$ :

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 2 \\ y^{'} = - 3 \end{cases}$

Por lo tanto, el simétrico del segmento $A B$ s el segmento $A^{'} B^{'}$ que pasa por los puntos $A^{'} = (- 1, 0)$ y $B^{'} = (- 2, - 3)$ .

Coordenadas mediante una simetría de centro $O = (a, b)$ :

Un punto $P^{'}$ homólogo de un punto $P = (x, y)$ mediante una simetría central de centro $O = (a, b)$ :

Y la figura homóloga de un triángulo es de la forma:

Por lo tanto, su sistema asociado, es: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 a \\ 2 b \end{matrix})$

donde recordamos que los valores (a,b) son las coordenadas del centro de la simetría.

Ejemplo

amos a considerar el centro de la simetría central el punto $O = (1, 2)$ y y queremos calcular el simétrico respecto $O$ del punto $A = (3, 7)$ . Entonces, por el sistema de ecuaciones asociado a la simetría central con origen $O = (a, b)$ , las coordenadas del punto simétrico son:

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x^{'} = - 3 + 2 = - 1 \\ y^{'} = - 7 + 4 = - 3 \end{cases}$

Por lo tanto, el simétrico del punto $A$ respecto el centro $O = (1, 2)$ es el punto $A^{'} = (- 1, - 3)$ .

Para finalizar la sección de simetrías axiales, vamos a ver que ocurre cuando componemos más de una simetría central a la vez:

Composición de simetrías con el mismo centro: Como una simetría de centro $O$ equivale a un giro de centro $O$ y amplitud $180^{\circ}$ , al aplicar otra transformación el ángulo será de $360^{\circ}$ , por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

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Composición de simetrías con distinto centro: La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

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