Traslaciones

imagen

Definimos una traslación como una isometría del plano euclídeo caracterizada por un vector $\vec{u}$ , al que a cada punto $A$ del plano le hace corresponder $A^{'}$ cumpliendo lo siguiente:

$\begin{array}{rcl} T : E & \to & E \\ A & \to & A^{'} = T (A) = A + \vec{u} \end{array}$

o lo que es lo mismo, que su sistema de ecuaciones asociado es de la forma:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix})$

Por la correspondencia entre puntos, podemos entender las traslaciones como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos $A$ y $B$ se cumple la siguiente identidad entre distancias:

$d (A, B) = d (T (A), T (B)) = d (A^{'}, B^{'})$

o más aún: $\vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}}$ .

Obsérvese que la inversa de una traslación es $(T_{u})^{- 1} = T_{- u}$ , o sea, que es hacer la traslación del vector opuesto.

Como remarcas finales de la sección de traslaciones, nótese que estas preservan las figuras idénticas y que conservan además la misma posición que las originales (con posición de la figura no nos referimos a las mismas coordenadas dentro del plano).

Para terminar, vamos a dar cómo se debe proceder para calcular los trasladados de las siguientes figuras:

Traslación de un segmento: Para calcular el transformado de un segmento, basta calcular los transformados de los extremos y unirlos.
Traslación de una recta: Calculamos los transformados de dos de los puntos de la recta y luego los unimos para obtener la transformada de la recta.
Traslación de ángulos: Un ángulo viene dado por la intersección de dos rectas en un determinado punto, por consiguiente, para calcular el transformado del ángulo bastará con calcular las transformaciones de las rectas y así obtendremos la transformación del ángulo

A partir de estas tres transformaciones básicas, se podrá calcular los trasladados de cualquier figura dado que en el plano cualquier objeto se reduce a composición de los tres elementos anteriormente descritos.

Ejemplo

Dado el vector $u = (1, 3)$ , calcularemos la traslación por este vector de los dos vectores básicos del plano, es decir, del vector $i = (1, 0)$ y $j = (0, 1)$ . Entonces, para calcular el transformado de $i$ y $j$ vamos a usar el sistema de ecuaciones asociado a la traslación. Dicho sistema, tiene por ecuaciones:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow {\begin{cases} x_{1}^{'} = x_{1} + 1 \\ x_{2}^{'} = x_{2} + 3 \end{cases}$

Por lo tanto, a la vista del sistema de ecuaciones, el transformado del vector $i$ , $i^{'} = (1 + 1, 3) = (2, 3)$ y el otro vector básico $j^{'} = (1, 1 + 3) = (1, 4)$ . Además, si queremos calcular la traslación inversa asociada al vector $u$ , por el resultado visto con anterioridad, basta con calcular la traslación asociada al vector $- u$ . Por lo tanto, el sistema de ecuaciones quedará de la forma siguiente:

$(\begin{matrix} x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 3 \end{matrix})$