Transformaciones geométricas

Coloquialmente, las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. A esta nueva figura se le llama la homóloga de la original. Podemos clasificar dichas transformaciones en dos grandes grupos:

• Directa: si la homóloga conserva la orientación de la original.

• Inversa: si la homóloga tiene el sentido contrario a la original.

También podemos clasificar las transformaciones geométricas según la forma del homólogo respecto al original. En este caso, tenemos tres grandes grupos:

• Isométricas: el homólogo conserva las distancias y los ángulos. A este grupo, también se le llama movimientos en el plano.

• Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. Por lo tanto, existe proporcionalidad entre los lados del homólogo y el del original.

• Anamórficas: cambia la forma de la figura original. En este tema, estas transformaciones no se van a tratar.

Formalmente, las transformaciones geométricas son las aplicaciones lineales $\phi :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$. Sea $(e_1,e_2)$ una base ortonormal (ortogonal de módulo $1$) de ${\mathbb{r}}^2$. Como las transformaciones geométricas son aplicaciones lineales, entonces podemos representarlas mediante un sistema bidimensional de ecuaciones lineales. O sea, sea $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2)$ un vector cualquiera de $E$ y sea $\overrightarrow{x^{\prime }}=(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$ el vector transformado mediante la transformación geométrica. Entonces, estos dos vectores cumplen la siguiente ecuación:

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$$

donde la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ es la matriz que representa cómo cambian los vectores de la base respecto de la transformación.

O sea, en la primera columna hay las nuevas componentes del primer vector de la base y en la segunda las componentes del segundo vector básico. Además, el vector $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2{)}^T$ nos dice como cambia el origen de coordenadas mediante la transformación.

Por lo tanto, gracias a esta formulación algebraica de las transformaciones geométricas, podemos reformular las clasificaciones anteriores usando sólo la matriz asociada a la transformación. Recordemos que, en la primera clasificación teníamos que:

• Transformación directa: Si conserva la orientación y esto sucederá si y solo si $det(A)>0$.
• Transformación inversa: Si invierte la orientación, que esto sucede si y solo si $det(A)<0$.

Por lo tanto, mediante el signo del determinante de la matriz asociada a la transformación, podremos saber si esa conserva o no su orientación.

Por otro lado, la segunda clasificación que hacíamos de las transformaciones geométricas, nos decía que:

• Isométricass: Conserva los ángulos y las distancias. Este hecho equivale a decir que $det(A)=\pm 1$.
• Isomórficas: Conserva los ángulos y su forma, existiendo una razón de proporcionalidad entre los lados del original y del homólogo. Esto equivale a decir que $det(A)=\pm K$ y $K\ne 1$, y que las distancias que existían en la figura original se ven multiplicadas por el factor $|K|$. Por lo tanto, $K$ es la razón de semejanza entre las dos figuras.
• Anamórficas: No pueden ser representadas por una matriz dado que no conservan ni los ángulos no las proporciones. Por lo tanto, este tipo de aplicaciones no son lineales.