Indeterminació infinit/infinit

Suposem que $lim_{x \to + \infty} f (X) = \pm \infty$ i $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ , llavors tenim que $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ , i així obtenim una indeterminació.

Per saber el valor del límit haurem de fixar-nos en l'expressió de cada funció i trobar el terme de major ordre. Un cop localitzat, en funció de la seva posició (a dalt o a baix de la fracció) direm que el límit és infinit, zero, o en cas de trobar-se en ambdós costats de la fracció, el quocient dels seus coeficients principals.

Recordem les principals funcions ordenades segons l'ordre del seu infinit: $\log_{r} x << x^{n} << x^{m} << a^{x} << b^{x} << x^{x} on n < m i b > a > 0$

Vegem alguns exemples:

Exemple

Si $b > a > 0$ aleshores $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{k} + l o g_{r} + a^{x}}{b^{x} - a^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{a^{x}}{b^{x}} = 0$
$lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 3^{4} x^{3} - x^{4}}{2 x - \ln x + x^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{4}}{x^{2}} = - \infty$
$lim_{x \to + \infty} \frac{2 e^{x} - \log_{2} x}{x + 1 - 3 e^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 e^{x}}{3 e^{x}} = \frac{2}{3}$
$lim_{x \to + \infty} \frac{(1 - x) \cdot 2^{x}}{(1 + x^{2}) \cdot 2^{x} - 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{- x \cdot 2^{x}}{x^{2} \cdot 2^{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{- 1}{x} = 0$