Indeterminació 0 per infinit

Suposarem que $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ i $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ , llavors tindrem que $lim_{x \to + \infty} f (x) \cdot g (x) = 0 \cdot \pm (\infty)$ .

En altres paraules, ens estem preguntant quina funció tendeix més ràpid al seu límit: $f (x)$ a zero, o $g (x)$ a infinit.

Per solucionar aquest tipus d'indeterminacions farem un senzill pas: $lim_{x \to + \infty} f (x) \cdot g (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\frac{1}{f (x)}} \cdot g (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{g (x)}{\frac{1}{f (x)}} = \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ i resoldrem el límit.

Vegem alguns exemples:

Exemple

$lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{x^{3} - 1} \cdot \ln x = 0 \cdot (+ \infty) \Rightarrow lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{x^{3} - 1} \cdot \ln x = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x \ln x}{x^{3} - 1} =$

$= lim_{x \to + \infty} \frac{2 x \cdot \ln x}{x^{3}} = lim_{x \to + \infty} \frac{2 \cdot \ln x}{x^{2}} = 0$

$lim_{x \to + \infty} x^{- x} \cdot 2^{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{2^{x}}{x^{x}} = 0$
$lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x + 1} \cdot \frac{- x^{2} - 1}{\ln x - 1} = lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x \cdot (- x^{2} - 1)}{(x + 1) \cdot (\ln x - 1)} = lim_{x \to + \infty} - x = - \infty$