Indeterminació infinit menys infinit

Suposem que:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\$\$i\$\${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }}}$$

llavors tenim que:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-g(x)=(\pm \mathrm{\infty })-(\pm \mathrm{\infty })}$$

i així obtenim una indeterminació.

Per resoldre aquest límit tenim tres opcions:

• 1.- Quan es veu el límit a simple vista: De vegades es veu directament que un dels dos infinits és de major ordre que l'altre:

  Exemple

  1. ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x-2^x=-\mathrm{\infty }}$
  2. ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}}-\ln (2x-1))=+\mathrm{\infty }}$

• 2.- Quan es pot simplificar l'expressió: Una altra opció és fer la resta i obtenir una sola expressió on probablement tindrem una indeterminació del tipus infinit partit per infinit, la qual ja sabem resoldre.Vegem un exemple:

  Exemple

  $${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^2-5x}{x+3}-2x)={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2-5x-2x\cdot (x+3)}{x+3}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-11x}{x+3}=-11}}}$$

• 3.- Quan apareixen radicals: Si tenim $f(x)$ or $g(x)$ amb una arrel quadrada no és fàcil deduir el límit.

  Una opció és sumar les expressions de la següent manera:

  $$f(x)-g(x)=(f(x)-g(x))\cdot \frac{f(x{)}^2+g(x{)}^2}{f(x)+g(x)}$$

  i obtenir una expressió de la qual sapiguem resoldre el límit .Vegem un exemple:

  Exemple

  $${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2-2}-x={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\sqrt{x^2-x}-x)\cdot (\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+2}=}}$$

  $$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}=}}$$

  $$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{x^{\frac{2}{2}}+x}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{2x}=\frac{-1}{2}}}$$