Indeterminació 1 elevat a infinit

Suposem que $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ i $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ , aleshores tenim que $lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = 1^{\pm \infty}$ i tenim de nou una indeterminació.

El problema bàsic d'aquesta indeterminació és saber per on tendeix $f (x)$ a $1$ (per la dreta o per la esquerra) i quina funció tendeix més ràpid al seu límit.

Per resoldre aquest límit utilitzarem alguna de les següents fórmules, depenent de quina convingui més. Això ens converteix la indeterminació en una que sapiguem resoldre.

Les fórmules que utilitzarem són: Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ i $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ llavors,

$lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = e^{(lim_{x \to + \infty} (f (x) - 1) \cdot g (X))}$
$lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = e^{(lim_{x \to + \infty} g (x) \cdot \ln f (x))}$

Vegem alguns exemples:

Exemple

1) $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}})^{2} x = e^{lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}} - 1) \cdot 2 x} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}) \cdot 2 x} = e^{lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot 2 x} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{3}}{1 + x^{2}}} = e^{- \infty} = 0$

2) $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}})^{2} x = e^{lim_{x \to + \infty} 2 x \cdot (\frac{1}{1 + x^{2}})} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} - 2 \cdot \ln (1 + x^{2})} = e^{- \infty} = 0$

3) $lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{2}{x^{2}})^{x^{2}} = e^{lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{2}{x^{2}} - 1) \cdot x^{2}} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} (- \frac{2 x^{2}}{x^{2}})} = e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}}$

4) $lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{2^{x}})^{x} = e^{lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{2^{x}} - 1) \cdot x} = e^{lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2^{x}}} = e^{0} = 1$