Indeterminación 1 elevado a infinito

Supongamos que $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ y $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ , entonces tenemos que $lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = 1^{\pm \infty}$ y tenemos de nuevo una indeterminación.

El problema básico de esta indeterminación es saber por dónde tiende $f (x)$ a $1$ (por la derecha o por la izquierda) y qué función tiende más rápido a su límite.

Para resolver este límite usaremos alguna de las siguientes dos fórmulas, dependiendo de cuál convenga más. Éstas nos convierten la indeterminación uno elevado a infinito a cero por infinito.

Se usará pues alguna de las siguientes fórmulas: Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ y $lim_{x \to + \infty} g (x) = \pm \infty$ entonces,

$lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = e^{(lim_{x \to + \infty} (f (x) - 1) \cdot g (X))}$
$lim_{x \to + \infty} f (x)^{g (x)} = e^{(lim_{x \to + \infty} g (x) \cdot \ln f (x))}$

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

1) $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}})^{2} x = e^{lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}} - 1) \cdot 2 x} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}) \cdot 2 x} = e^{lim_{x \to + \infty} \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot 2 x} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{3}}{1 + x^{2}}} = e^{- \infty} = 0$

2) $lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{1 + x^{2}})^{2} x = e^{lim_{x \to + \infty} 2 x \cdot (\frac{1}{1 + x^{2}})} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} - 2 \cdot \ln (1 + x^{2})} = e^{- \infty} = 0$

3) $lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{2}{x^{2}})^{x^{2}} = e^{lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{2}{x^{2}} - 1) \cdot x^{2}} =$

$= e^{lim_{x \to + \infty} (- \frac{2 x^{2}}{x^{2}})} = e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}}$

4) $lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{2^{x}})^{x} = e^{lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{2^{x}} - 1) \cdot x} = e^{lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2^{x}}} = e^{0} = 1$