Indeterminació 0/0

Suposem que $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ i $lim_{x \to + \infty} g (x) = 0$ , llavors tenim que $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{0}{0}$ i ens apareix una indeterminació.

En aquest cas ens preguntem quina funció tendeix més ràpid a zero: si és $f (x)$ , llavors el límit valdrà zero, i si és $g (x)$ llavors el límit valdrà infinit.

Fixem-nos que $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{0}{0}$ implica que $lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{g (x)}}{\frac{1}{f (x)}} = \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ i hem passat d'una indeterminació tipus zero partit per zero a una tipus infinit partit per infinit.

Vegem alguns exemples:

Exemple

a) $lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x}{x^{2} - 1}}{\frac{2 + x}{x^{2}}} = \frac{0}{0} \Rightarrow lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{x}{x^{2} - 1}}{\frac{2 + x}{x^{2}}} = lim_{x \to + \infty} \frac{x \cdot x^{2}}{(x^{2} - 1) \cdot (2 + x)} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{3}}{x^{3}} = 1$

ja que $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

b) $lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{2 + x}{\ln x}}{\frac{\ln x}{x}} = lim_{x \to + \infty} \frac{x \cdot (2 + x)}{\ln x^{2}} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2}}{\ln x^{2}} = + \infty$