Indeterminación infinito menos infinito

Supongamos que:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }\$\$y\$\${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }}}$$

entonces tenemos que:

$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)-g(x)=(\pm \mathrm{\infty })-(\pm \mathrm{\infty })}$$

y así obtenemos una indeterminación.

Para resolver este límite tenemos tres opciones:

• 1.- Cuando se ve el límite a simple vista: A veces se ve directamente que un límite es de orden mayor que el otro:

  Ejemplo

  1. ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x-2^x=-\mathrm{\infty }}$

  2. ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}}-\ln (2x-1))=+\mathrm{\infty }}$

• 2.- Cuando se puede simplificar la expresión: Otra opción es hacer la resta y obtener una sola expresión donde probablemente tendremos una indeterminación del tipo infinito partido por infinito, la cual ya sabemos resolver.Veamos un ejemplo:

  Ejemplo

  $${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^2-5x}{x+3}-2x)={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2-5x-2x\cdot (x+3)}{x+3}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-11x}{x+3}=-11}}}$$

• 3.- Cuando aparecen radicales: Si tenemos $f(x)$ o $g(x)$ con una raíz cuadrada no es fácil deducir el límite.

  Una opción es sumar las expresiones de la siguiente manera:

  $$f(x)-g(x)=(f(x)-g(x))\cdot \frac{f(x{)}^2+g(x{)}^2}{f(x)+g(x)}$$

  y obtener una expresión de la cual sepamos resolver el límite. Veamos un ejemplo:

  Ejemplo

  $${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{x^2-2}-x={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\sqrt{x^2-x}-x)\cdot (\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+2}=}}$$

  $$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}=}}$$

  $$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{x^{\frac{2}{2}}+x}={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x}{2x}=\frac{-1}{2}}}$$