Supongamos que:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}= \pm \infty$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}= \pm \infty$$$
entonces tenemos que:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)-g(x)=(\pm \infty) - (\pm \infty)}$$$
y así obtenemos una indeterminación.
Para resolver este límite tenemos tres opciones:
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1.- Cuando se ve el límite a simple vista: A veces se ve directamente que un límite es de orden mayor que el otro:
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$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x-2^x}=-\infty$$
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$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}}- \ln(2x-1)\Big)}=+\infty$$
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2.- Cuando se puede simplificar la expresión: Otra opción es hacer la resta y obtener una sola expresión donde probablemente tendremos una indeterminación del tipo infinito partido por infinito, la cual ya sabemos resolver.Veamos un ejemplo:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\Big(\frac{2x^2-5x}{x+3} -2x\Big)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x^2-5x-2x \cdot (x+3)}{x+3}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-11x}{x+3}}=-11$$$
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3.- Cuando aparecen radicales: Si tenemos $$f(x)$$ o $$g(x)$$ con una raíz cuadrada no es fácil deducir el límite.
Una opción es sumar las expresiones de la siguiente manera:
$$$f(x)-g(x)=(f(x)-g(x)) \cdot \frac{f(x)^2+g(x)^2}{f(x)+g(x)}$$$
y obtener una expresión de la cual sepamos resolver el límite. Veamos un ejemplo:
$$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\sqrt{x^2-2}-x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(\sqrt{x^2-x}-x)\cdot(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+2}}=$$$
$$$=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2-x-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}}=$$$
$$$=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{x^{\frac{2}{2}}+x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x}{2x}}=\frac{-1}{2}$$$