Exercicis de La distribució normal o Gaussiana

Un fabricant de bateries per a telèfons mòbils diu en les especificacions que la durada mitjana fins que es fan malbé és de $25.000$ hores de funcionament. Molts clients han acudit a les associacions de consumidors per queixar-se, i s'ha fet un estudi que diu que la durada de les bateries segueix una normal de mitjana $20.000$ .

Tenint en compte que les duracions fora de l'interval $[20000 - 3 σ, 20000 + 3 σ]$ no es donen mai, definir un valor raonable de sigma.
Quina és la probabilitat que una bateria duri les $25.000$ que diu el fabricant o més? I que duri menys?
Quina és la probabilitat que duri entre $10.000$ i $15.000$ hores?

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es pot suposar que $σ = 6.000$ , de manera que les bateries mai durin menys de $2.000$ hores, ni més de $38.000$ .
Serà necessari transformar la variable $X$ ( $N (20.000, 6.000)$ ) a la variable $Z$ de normal ( $N (0, 1)$ ) per poder utilitzar les taules. $Z = \frac{X - μ}{σ} \Rightarrow X = σ \cdot Z + μ$ $P (X \geq 25.000 hores) = P (σ \cdot Z + μ \geq 25.000) = P (Z \geq 0, 833)$ Anant a les taules es pot veure que: $p (X < 25.000) = 0, 7967$ $p (X \geq 25.000) = 1 - 0, 7967 = 0, 2033$
S'observa que: $p (10.000 \leq X \leq 15.000) = p (X \leq 15.000) - p (X \leq 10.000) =$ $= p (Z \leq \frac{15.000 - 20.000}{6.000}) - p (Z \leq \frac{10.000 - 20.000}{6.000}) =$ $= p (Z \leq - 0, 83) - p (Z \leq - 1, 67)$ Per simetria, es pot afirmar: $p (10.000 \leq X \leq 15.000) = p (Z \leq 1, 67) - p (Z \leq 0, 83) =$ $= 0, 9525 - 0, 7967 = 0, 1558$

Solució:

$σ = 6.000$
$p (X < 25.000) = 0, 7967$ ; $p (X \geq 25.000) = 1 - 0, 7967 = 0, 2033$
$p (10.000 \leq X \leq 15.000) = 0, 1558$

Amagar desenvolupament i solució