Ejercicios de La distribución normal o Gaussiana

Un fabricante de baterías para teléfonos móviles dice que las especificaciones que la duración media hasta que se estropean es de $25.000$ horas de funcionamiento. Muchos clientes han acudido a las asociaciones de consumidores para quejarse, y se ha hecho un estudio que dice que la duración de las baterías sigue una normal de media $20.000$ .

Teniendo en cuenta que las duraciones fuera del intervalo $[20000 - 3 σ, 20000 + 3 σ]$ no se dan nunca, definir un valor razonable de sigma.
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure las $25.000$ que dice el fabricante o más? ¿Y de que dure menos?
¿Cuál es la probabilidad de que dure entre $10.000$ y $15.000$ horas?

Ver desarrollo y solución

Desarrollo:

Se puede suponer que $σ = 6.000$ , de forma que las baterías nunca duren menos de $2.000$ horas, ni más de $38.000$ .
Será necesario transformar la variable $X$ ( $N (20.000, 6.000)$ ) a la variable $Z$ de normal ( $N (0, 1)$ ) para poder utilizar las tablas. $Z = \frac{X - μ}{σ} \Rightarrow X = σ \cdot Z + μ$ $P (X \geq 25.000 horas) = P (σ \cdot Z + μ \geq 25.000) = P (Z \geq 0, 833)$ Acudiendo a las tablas se puede ver que: $p (X < 25.000) = 0, 7967$ $p (X \geq 25.000) = 1 - 0, 7967 = 0, 2033$
Se observa que: $p (10.000 \leq X \leq 15.000) = p (X \leq 15.000) - p (X \leq 10.000) =$ $= p (Z \leq \frac{15.000 - 20.000}{6.000}) - p (Z \leq \frac{10.000 - 20.000}{6.000}) =$ $= p (Z \leq - 0, 83) - p (Z \leq - 1, 67)$ Por simetría, se puede afirmar: $p (10.000 \leq X \leq 15.000) = p (Z \leq 1, 67) - p (Z \leq 0, 83) =$ $= 0, 9525 - 0, 7967 = 0, 1558$

Solución:

$σ = 6.000$
$p (X < 25.000) = 0, 7967$ ; $p (X \geq 25.000) = 1 - 0, 7967 = 0, 2033$
$p (10.000 \leq X \leq 15.000) = 0, 1558$

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