Un fabricante de baterías para teléfonos móviles dice que las especificaciones que la duración media hasta que se estropean es de $$25.000$$ horas de funcionamiento. Muchos clientes han acudido a las asociaciones de consumidores para quejarse, y se ha hecho un estudio que dice que la duración de las baterías sigue una normal de media $$20.000$$.
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Teniendo en cuenta que las duraciones fuera del intervalo $$[20000-3\sigma, 20000+3\sigma]$$ no se dan nunca, definir un valor razonable de sigma.
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¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure las $$25.000$$ que dice el fabricante o más? ¿Y de que dure menos?
- ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre $$10.000$$ y $$15.000$$ horas?
Desarrollo:
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Se puede suponer que $$\sigma=6.000$$, de forma que las baterías nunca duren menos de $$2.000$$ horas, ni más de $$38.000$$.
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Será necesario transformar la variable $$X$$ ($$N(20.000, 6.000)$$) a la variable $$Z$$ de normal ($$N(0,1)$$) para poder utilizar las tablas. $$$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \Rightarrow X=\sigma\cdot Z+\mu$$$ $$$P(X\geq25.000 \mbox{ horas } )=P(\sigma\cdot Z+\mu \geq 25.000)=P(Z\geq 0,833)$$$ Acudiendo a las tablas se puede ver que: $$$p(X < 25.000)=0,7967$$$ $$$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$$
- Se observa que: $$$p(10.000 \leq X \leq 15.000)=p(X\leq15.000)-p(X\leq10.000)=$$$ $$$=p(Z\leq\dfrac{15.000-20.000}{6.000})-p(Z\leq\dfrac{10.000-20.000}{6.000})=$$$ $$$=p(Z\leq-0,83)-p(Z\leq-1,67)$$$ Por simetría, se puede afirmar: $$$p(10.000\leq X \leq 15.000)=p(Z\leq1,67)-p(Z\leq0,83)=$$$ $$$=0,9525-0,7967=0,1558$$$
Solución:
- $$\sigma=6.000$$
- $$p(X < 25.000)=0,7967$$; $$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$
- $$p(10.000\leq X \leq 15.000)=0,1558$$