La variable aleatòria contínua
- Pot prendre qualsevol valor real:
- La funció densitat de probabilitat (fpd o pdf de l'anglès)segueix una corba gaussiana:
Exemple
Trobar la funció densitat de probabilitat d'una variable contínua de mitjana
De què podria ser una bona representació aquesta normal?
La mitjana i desviació típica proporcionades fan que aquesta variable sigui un possible model de l'alçada dels homes a Barcelona.
Per interpretar la gràfica s'ha d'entendre que la probabilitat que la variable prengui un determinat rang de valors és l'àrea per sota de la corba de la funció de probabilitat en aquest rang.
- L'àrea total de la funció de probabilitat és
: - La funció de probabilitat és simètrica respecte a
, és a dir l'àrea a la dreta de és , i a l'esquerra de també. O, en l'exemple anterior, el nombre de persones per sobre de m és el mateix que el nombre de gent per sota de la mitjana. - A més el nombre de gent més alta que
és el mateix que el de gent més baixa de
La distribució normal estàndard
La distribució normal estàndard és la que té mitjana
La seva funció densitat és:
En la següent gràfica veiem la seva representació:
Sobre la distribució normal estàndard es pot afirmar:
I, a més, compleix totes les propietats d'una funció parell
A continuació, es pot veure la taula corresponent als valors de la funció distribució de probabilitat, és a dir:
La primera posició de la taula indica la probabilitat que el resultat de l'experiment d'un valor inferior a zero (la mitjana), i es pot observar que aquesta probabilitat és
Per interpretar la taula s'ha de veure que la columna indica la unitat i la desena de
mentre que en la darrera casella de la primera fila es veu:
Es pot observar que la taula només dóna les probabilitats per a valors positius de
Val a dir que a partir de
Exemple
Trobar la probabilitat que una variable aleatòria
Es mira la fila de
Exemple
Trobar la probabilitat que una variable aleatòria
Exemple
Trobar la probabilitat que
Transformació de la normal estàndard a qualsevol altra normal
Què cal fer si es vol treballar amb una normal diferent de la
Si
Exemple
Tenim una variable aleatòria de mitjana
Quina és la probabilitat que sigui més gran que
D'aquesta manera, només seran necessàries les taules per a la normal
Aproximació de la distribució binomial a partir d'una normal
Per
Per això s'utilitza una normal:
Així doncs, per tractar la binomial que modela els
D'aquesta manera es podrà evitar el càlcul amb exponents elevats que suposa l'ús d'una binomial, i es podran utilitzar les taules de la normal