Octàedre regular: Àrea i volum

Exemple

a) Definir les dimensions d'un octàedre (aresta $a$).

b) Imaginar que aquest octàedre és un iceberg, amb el seu tall en forma de quadrat (base de les dues piràmides que el formen) paral.lel al mar. Una petita piràmide quadrada d'alçada $h^{\prime }$ queda fora de l'aigua, i l'octàedre sencer té alçada $2\cdot h$ ($h$ és l'altura de cada una de les dues piràmides que componen l'octàedre). Trobar l'alçada de mig octàedre, $h$.

c) Decidir un percentatge raonable de $h^{\prime }$ respecte a $h$ per a un iceberg, i trobar el paràmetre $a^{\prime }$.

d) Quin percentatge del volum de l'octàedre està fora de l'aigua?

e) Quin és l'àrea de les cares completament submergides de l'iceberg (les quatre inferiors)?

Solució.

a) Es defineix una aresta $a=10m$, raonable perquè l'octàedre sigui un iceberg.

b) Per trobar $h$, es troba primer l'alçada del triangle d'una de les cares laterals $Ap$. $$\begin{gathered} {10}^2=A{p}^2+({\displaystyle \frac{10}{2}}{)}^2 \\ Ap=5\sqrt{3} \end{gathered}$$

Aplicant de nou el teorema de Pitàgores, ara amb el triangle els catets del qual són $h$ i ${\displaystyle \frac{a}{2}}$, i la hipotenusa és $Ap$, s'obté l'altura de mig octàedre, $h$: $$\begin{gathered} A{p}^2=h^2+({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2 \\ (5\sqrt{3}{)}^2=h^2+5^2 \\ h=\sqrt{75-25}=5\sqrt{2}=7,07m \end{gathered}$$

c) Es defineix $h^{\prime }=0,2\cdot h=1,41m$, el que resulta raonable tenint en compte que la major part d'un iceberg sempre està submergida.

S'aplica el teorema de Tales per trobar l'aresta de la piràmide que queda fora de l'aigua: $$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{a^{\prime }}{a}}={\displaystyle \frac{h^{\prime }}{h}}=0,2 \\ {a}^{\prime }=2m \end{gathered}$$

d) Es calcula, en primer lloc, el volum total de l'octàedre: $$V={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\cdot a^3$$ on $a=10m$. $$V_{octàedre}=471,4m^3$$

Seguidament, es calcula el volum de la piràmide que queda fora de l'aigua: $$\text{Undefined control sequence de}$$ El percentatge del volum fora de l'aigua és $${\displaystyle \frac{1,88}{471,4}}\cdot 100=0,39\mathrm{\%}$$

e) N'hi ha prou amb calcular l'àrea de l'octàedre i dividir per $2$: $${\displaystyle \frac{A_{octàedre}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(2\sqrt{3}\cdot a^2)$$ on $a=10m$ $${\displaystyle \frac{A_{octàedre}}{2}}=173,2m^2$$