Tetràedre: Àrea i volum

El tetràedre és una figura formada a partir de $4$ triangles equilàters.

Així doncs, per calcular l'àrea del tetràedre: $$A_{tetràedre}=4\cdot {\displaystyle \frac{a\cdot h}{2}}=2\cdot a\cdot h$$

Atès que els triangles que componen el tetràedre són equilàters, es pot expressar la seva altura $h$ en funció de la seva base: $$\begin{gathered} a^2=({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2+h^2 \\ {h}^2=a^2({\displaystyle \frac{3}{4}}) \\ h=a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}} \end{gathered}$$

I l'àrea del tetràedre resulta ser: $$A_{tetràdre}={\displaystyle \frac{a\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}=a^2\cdot \sqrt{3}$$

Finalment, l'expressió del volum del tetràedre regular és: $$V={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}\cdot a^3$$