Operacions amb potències

Vegem ara com es fan les operacions comuns entre potències:

Producte de potències

Si volem fer el producte de dues potències de la mateixa base, per exemple $4^{3}$ y $4^{6}$ , fem el següent raonament: $\begin{array}{rcl} 4^{3} & = & 4 \cdot 4 \cdot 4 \\ 4^{6} & = & 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \end{array}$

Per tant, si les multipliquem tindrem: $4^{3} \cdot 4^{6} = (4 \cdot 4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^{9} = 4^{3 + 6}$ En general, s'ha de si volem fer el producte de dues potències de la mateixa base el resultat és fruit de posar la mateixa base però amb exponent la suma dels exponents. Això és: $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ .

Exemple

$2^{4} \cdot 2^{5} = 2^{4 + 5} = 2^{9} 9^{21} \cdot 9^{5} = 9^{21 + 5} = 9^{26}$

Quocient de potències

De manera similar al producte es pot calcular el quocient de dues potències de la mateixa base. Per exemple: $\frac{4^{6}}{4^{2}} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{6 - 2}$ Pel que diem que, en general, el procediment és: $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$ . Ho podem il·lustrar amb alguns càlculs:

Exemple

$\frac{3^{7}}{3^{3}} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{4} = 3^{7 - 3}$

Exemple

$\frac{17^{34}}{17^{12}} = 17^{34 - 12} = 17^{22}$

Exemple

$\frac{4^{3}}{4^{3}} = 4^{3 - 3} = 4^{0} = 1$

Potència d'un producte

Si volem fer la següent operació $(3 \cdot 4)^{3}$ observem que $(3 \cdot 4)^{3} = (3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 4) = (3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 4 \cdot 4) = 3^{3} \cdot 4^{3}$ . Per calcular el resultat tenim dues opcions, o bé multiplicar $3$ per $4$ i elevar el producte al cub: $(3 \cdot 4)^{3} = (12)^{3} = 1728$ o bé elevar al cub cada un dels factors del producte: $3^{3} = 27$ y $4^{3} = 64$ per tant el producte serà $27 \cdot 64 = 1728$ . En general doncs, la potència d'un producte és igual al producte de les potències. És a dir, $(a \cdot b)^{m} = a^{m} \cdot b^{m}$ .

Exemple

$(4 \cdot 2 \cdot 10)^{2} = 4^{2} \cdot 2^{2} \cdot 10^{2} = 16 \cdot 5 \cdot 100 = 6400$

Exemple

$(3 \cdot 5)^{3} = 3^{3} \cdot 5^{3} = 27 \cdot 625 = 16875$

Potència d'un quocient

De manera similar que en el producte tenim que, en general, $(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$ . Vegem alguns exemples:

Exemple

$(\frac{6}{7})^{2} = \frac{6^{2}}{7^{2}} = \frac{36}{49} (\frac{5}{21})^{8} = \frac{5^{8}}{21^{8}} = \frac{390625}{37822859361}$

Potència d'una potència

Per calcular expressions com ara $(2^{3})^{5}$ raonem de la següent manera: $(2^{3})^{5} = (2^{3}) \cdot (2^{3}) \cdot (2^{3}) \cdot (2^{3}) \cdot (2^{3}) = 2^{3 + 3 + 3 + 3 + 3} = 2^{15}$ Per tant ens adonem que en fer una potència d'una potència, els exponents es multipliquen i la base es deixa igual. En general, això s'expressa com: $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$ Vegem-ho en algun exemple:

Exemple

$(4^{2})^{5} = 4^{2 \cdot 5} = 4^{10} (9^{5})^{7} = 9^{5 \cdot 7} = 9^{35}$

Gràcies a totes aquestes propietats de les potències ja podem treballar amb expressions més còmodes quan necessitem fer el producte d'un nombre per ell mateix moltes vegades. Per assimilar completament el concepte vegem uns quants exemples que barregen totes les propietats:

Exemple

$3^{4} \cdot 3^{2} - \frac{5 \cdot (5^{4})^{2}}{5^{3}} = 3^{4 + 2} - \frac{5 \cdot 5^{4 \cdot 2}}{5^{3}} = 3^{6} - \frac{5 \cdot 5^{8}}{5^{3}} = 3^{6} - \frac{5^{1 + 8}}{5^{3}} = 3^{6} - \frac{5^{9}}{5^{3}} = 3^{6} - 5^{9 - 3} = 3^{6} - 5^{6} \frac{3 \cdot 6^{10} \cdot (3^{4})^{2} \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 3^{4 \cdot 2} \cdot 6^{10 + 1}}{3 \cdot 6} = 3^{9 - 1} \cdot 6^{11 - 1} = 3^{8} \cdot 6^{10} 4^{- 2} = \frac{1}{4^{2}} (3^{7})^{- 2} = 3^{7 \cdot (- 2)} = 3^{- 14} 6^{- 8} \cdot 6^{3} = \frac{6^{3}}{6^{8}} = 6^{3 - 8} = 6^{- 5} = \frac{1}{6^{5}}$