Permutacions amb repetició

Les permutacions amb repetició de $n$ elements en què el primer element es repeteix $n_{1}$ vegades, el segon $n_{2}$ vegades... i l'últim es repeteix $n_{r}$ vegades, són els diferents grups de $n$ elements que es poden fer de manera que en cada grup, cada element aparegui el nombre de vegades indicat. A més, dos grups es diferencien únicament en l'ordre de la col·locació. Es representa per $P_{n}^{n_{1}, \dots, n_{r}}$ .

Per a saber quantes permutacions amb repetició de $n$ elements, on el primer element es repeteix $n_{1}$ vegades, el segon $n_{2}$ vegades... i l'últim es repeteix $n_{r}$ vegades, ve donat per la següent fórmula: $P_{n}^{n_{1}, \dots, n_{r}} = \frac{n!}{n_{1}! \dots n_{r}!}$ Per entendre-ho millor, considerem el següent exemple:

Exemple

Volem saber quantes nombres de cinc xifres hi ha en els que el 2 aparegui una vegada, el 7 dues vegades i el 9 dues vegades també. En aquest cas es té: $n = 5$ , $n_{1} = 1, n_{2} = 2$ i $n_{3} = 2$ .

Algunes possibilitats són: $27799, 72799, 92977, 92779, 77992, 72979$ ... però n'hi ha moltes més, i per trobar-les totes es podria trigar molt de temps.

No obstant això, mitjançant la fórmula anterior se sap ràpidament que el nombre de possibilitats és 30: $P_{5}^{1, 2, 2} = \frac{5!}{1! 2! 2!}$