Permutaciones con repetición

Las permutaciones con repetición de $n$ elementos en las que el primer elemento se repite $n_{1}$ veces, el segundo $n_{2}$ veces, ... y el último se repite $n_{r}$ veces, son los distintos grupos de $n$ elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado. Además, dos grupos se diferencian únicamente en el orden de la colocación. Se representa por $P_{n}^{n_{1}, \dots, n_{r}}$ .

Para saber cuántas permutaciones con repetición de $n$ elementos, en las que el primer elemento se repite $n_{1}$ veces, el segundo $n_{2}$ veces, ... y el último se repite $n_{r}$ veces, viene dado por la siguiente fórmula: $P_{n}^{n_{1}, \dots, n_{r}} = \frac{n!}{n_{1}! \dots n_{r}!}$ Para entenderlo mejor, consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Queremos saber cuantas números de cinco cifras hay en las que el 2 aparezca una vez, el 7 dos veces y el 9 dos veces también. En este caso se tiene: $n = 5$ , $n_{1} = 1, n_{2} = 2$ y $n_{3} = 2$ .

Algunas posibilidades son: $27799, 72799, 92977, 92779, 77992, 72979$ ... pero hay muchas más, y para contarlas todas se podría tardar mucho tiempo.

No obstante, mediante la fórmula anterior se sabe rápidamente que el número de posibilidades es de 30: $P_{5}^{1, 2, 2} = \frac{5!}{1! 2! 2!}$