Exercicis de Producte de n termes d'una progressió geomètrica

Quants termes d'una progressió geomètrica $a : (1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, \dots)$ cal multiplicar per trobar el nombre $10^{- 45}$ ?

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El terme general de la successió amb primer terme $a_{1} = 1$ i raó $r = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{0.1}{1} = 0.1 = \frac{1}{10}$ , és

$a_{n} = \frac{1}{10^{n - 1}}$

Volem trobar un natural $m$ tal que el producte dels $m$ primers termes de la successió sigui $10^{- 45}$ , és a dir, que:

$P_{m} = \prod_{n = 1}^{m} \frac{1}{10^{n - 1}} = 1^{10} \cdot 10^{- 45}$

però sabem que:

$P_{m} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{m})^{m}} = \sqrt{(1 \cdot \frac{1}{10^{m - 1}})^{m}}$

I comparant les dues expressions, ens queda que:

$10^{- 45} = \sqrt{(\frac{1}{10^{m - 1}})^{m}}$

I aïllant la variable d'aquesta equació racional:

$(\frac{1}{10^{m - 1}})^{\frac{m}{2}} = 10^{- 45} \Rightarrow \frac{1}{10^{\frac{m}{2} (m - 1)}} = \frac{1}{10^{45}} \Rightarrow$

$10^{\frac{m (m - 1)}{2}} = 10^{45} \Rightarrow \frac{m^{2} - m}{2} = 45 \Rightarrow$

$m^{2} - m - 90 = 0$

Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:

$m^{2} - m - 90 = 0 \Rightarrow m = {10, - 9}$

Sabem que $m$ ha de ser un enter positiu, ens quedem amb la solució $m = 10$ .

Solució:

Cal sumar els $10$ primers termes.

Amagar desenvolupament i solució

Troba els sis primers termes d'una progressió geomètrica de la qual sabem que el seu producte val $\sqrt{7^{21}}$ i que el primer terme és $\sqrt{7}$ .

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El terme general d'aquesta progressió és de la forma $a_{n} = \sqrt{7} \cdot r^{n - 1}$ ja que ignorem el valor de la raó, però tenim que el primer terme és $\sqrt{7}$ .

D'altra banda, el producte dels sis primers termes val $\sqrt{7^{21}}$ , i si fem el càlcul, tenim que:

$P_{6} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{6})^{6}} = \sqrt{(\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot r^{5})^{6}} = \sqrt{7^{6} \cdot r^{30}} = 7^{3} \cdot r^{15}$

Així que,

$7^{3} \cdot r^{15} = \sqrt{7^{21}} \Rightarrow r^{15} = \sqrt{7^{15}} \Rightarrow r^{15} = (\sqrt{7})^{15} \Rightarrow r = \sqrt{7}$

Per tant, el terme general de la successió ens queda com: $a_{n} = \sqrt{7^{n}}$ Amb el que $a_{1} = \sqrt{7}, a_{2} = 7, a_{3} = 7 \sqrt{7}, a_{4} = 49, a_{5} = 49 \sqrt{7}$

Solució:

$a_{1} = \sqrt{7}, a_{2} = 7, a_{3} = 7 \sqrt{7}, a_{4} = 49, a_{5} = 49 \sqrt{7}$

Amagar desenvolupament i solució