Exercicis de Producte de n termes d'una progressió geomètrica

Desenvolupament:

El terme general de la successió amb primer terme $$a_1=1$$ i raó $$r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{0.1}{1}=0.1=\dfrac{1}{10}$$, és

$$$a_n=\dfrac{1}{10^{n-1}}$$$

Volem trobar un natural $$m$$ tal que el producte dels $$m$$ primers termes de la successió sigui $$10^{-45}$$, és a dir, que:

$$$P_m=\prod_{n=1}^m \dfrac{1}{10^{n-1}} = 1^{10}\cdot 10^{-45}$$$

però sabem que:

$$$P_m=\sqrt{(a_1\cdot a_m)^m}=\sqrt{ \Big(1\cdot \dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$$

I comparant les dues expressions, ens queda que:

$$$10^{-45}= \sqrt{ \Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$$

I aïllant la variable d'aquesta equació racional:

$$$\Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^{\frac{m}{2}}=10^{-45} \Rightarrow \dfrac{1}{10^{\frac{m}{2}(m-1)}}=\dfrac{1}{10^{45}} \Rightarrow$$$

$$$10^{\frac{m(m-1)}{2}}=10^{45} \Rightarrow \dfrac{m^2-m}{2}=45 \Rightarrow$$$

$$$m^2-m-90=0$$$

Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:

$$$m^2-m-90=0 \Rightarrow m=\{10,-9\}$$$

Sabem que $$m$$ ha de ser un enter positiu, ens quedem amb la solució $$m=10$$.

Solució:

Cal sumar els $$10$$ primers termes.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El terme general d'aquesta progressió és de la forma $$a_n=\sqrt{7}\cdot r^{n-1}$$ ja que ignorem el valor de la raó, però tenim que el primer terme és $$\sqrt{7}$$.

D'altra banda, el producte dels sis primers termes val $$\sqrt{7^{21}}$$, i si fem el càlcul, tenim que:

$$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_6)^6}=\sqrt{(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot r^5)^6}= \sqrt{7^6\cdot r^{30}}= 7^3\cdot r^{15}$$$

Així que,

$$$7^3\cdot r^{15} = \sqrt{7^{21}} \Rightarrow r^{15}=\sqrt{7^{15}} \Rightarrow r^{15}=(\sqrt{7})^{15} \Rightarrow r=\sqrt{7}$$$

Per tant, el terme general de la successió ens queda com: $$$a_n=\sqrt{7^n}$$$ Amb el que $$$a_1=\sqrt{7}, a_2=7, a_3=7\sqrt{7}, a_4=49, a_5=49\sqrt{7}$$$

Solució:

$$a_1=\sqrt{7}, a_2=7, a_3=7\sqrt{7}, a_4=49, a_5=49\sqrt{7}$$

Amagar desenvolupament i solució