Producte de n termes d'una progressió geomètrica

L'objectiu és trobar una fórmula que ens permeti calcular el producte dels primers termes d'una progressió geomètrica sense necessitat de calcular.

Per fer-ho, utilitzarem la següent propietat:

Si es consideren $n$ termes d'una progressió geomètrica, el producte de dos termes equidistants dels extrems coincideix amb el producte dels extrems. És a dir, el producte del primer i l'últim terme coincideix amb el producte del segon i el penúltim i amb el producte del tercer i l'antepenúltim, etc, sigui quina sigui la quantitat de termes que estiguem considerant d'una progressió geomètrica.

Exemple

Considerem la progressió geomètrica amb primer terme $a_{1} = 2^{0} = 1$ i raó $r = 2.$

Els seus sis primers termes són:

$a_{1} = 2^{0} = 1$ , $a_{2} = 2^{1} = 2$ , $a_{3} = 2^{2} = 4$ , $a_{4} = 2^{3} = 8$ , $a_{5} = 2^{4} = 16$ , $a_{6} = 2^{5} = 32.$

Si fem el producte entre els termes equidistants, obtenim:

$a_{1} \cdot a_{6} = 2^{0} \cdot 2^{5} = 2^{5}$ , $a_{2} \cdot a_{5} = 2^{1} \cdot 2^{4} = 2^{5}$ , $a_{3} \cdot a_{4} = 2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{5} .$

Amb la qual cosa, obtenim que efectivament el producte de termes equidistants als extrems és igual al producte dels extrems.

Això és degut a que els termes equidistants s'obtenen incrementant el primer i reduint l'últim amb la mateixa proporció, per tant, el producte d'aquests dos factors ha de coincidir amb el producte dels factors de partida: els extrems.

Siguin $a_{1}$ i $a_{n}$ els extrems, i sigui $a_{1 + k}$ un terme situat $k$ posicions després del primer, i $a_{n - k}$ un terme situat $k$ posicions abans de l'últim, volem veure que $a_{1} \cdot a_{n} = a_{1 + k} \cdot a_{n - k}$ .

Com aquests termes formen part d'una progressió geomètrica, sabem que:

$a_{1 + k} = a_{1} \cdot r^{1 + k - 1} = a_{1} \cdot r^{k}$ $a_{n - k} = a_{n} \cdot r^{n - k - n} = a_{n} \cdot r^{- k}$

I d'aquí:

$a_{1 + k} \cdot a_{n - k} = (a_{1} \cdot r^{k}) \cdot (a_{n} \cdot r^{- k}) = (a_{1} \cdot a_{n}) \cdot (r^{k} \cdot r^{- k}) = a_{1} \cdot a_{n}$ que és el que volíem veure.

D'aquí tenim que el producte $P_{n}$ dels $n$ primers termes d'una progressió geomètrica val:

$P_{n} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{n}}$

En efecte, si $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}$ són els $n$ primers termes, serà: $P_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n}$ , o bé, $P_{n} = a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot \dots \cdot a_{2} \cdot a_{1}$ .

Si es multipliquen les dues igualtats membre a membre, obtenim:

$(P_{n})^{2} = (a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n}) (a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot \dots \cdot a_{2} \cdot a_{1}) =$

$= (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{2} \cdot a_{n - 1}) \dots (a_{n - 1} \cdot a_{2}) (a_{n} \cdot a_{1})$

En el segon membre apareixen $n$ parèntesis que contenen el producte de dos termes equidistants als extrems que com acabem de veure és igual al producte dels extrems.

Així que:

$(P_{n})^{2} = (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{1} \cdot a_{n}) \cdot \overset{n)}{\dots} \cdot (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{1} \cdot a_{n}) = (a_{1} \cdot a_{n})^{n}$

I traient arrel quadrada obtenim:

$P_{n} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{n}}$ que és el que volíem veure.

Exemple

Per calcular el producte dels sis primers múltiples de $2$ , ens fixem que es tracta d'una progressió geomètrica de primer terme $a_{1} = 2^{0} = 1$ i raó $r = 2$ .

Així que el seu terme general és: $a_{n} = 2^{n - 1}$ , i el sisè terme és: $a_{6} = 2^{6 - 1} = 2^{5}$ , així que el producte dels sis primers és: $P_{6} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{6}} = \sqrt{(1 \cdot 2^{5})^{6}} = \sqrt{2^{3} 0} = 2^{15} = 32.768$

Per facilitar l'escriptura i simplificar la notació, per denotar el producte d'una gran quantitat de números que no podem escriure explícitament, utilitzarem la lletra grega Pi majúscula: $\prod .$

A la part inferior escriurem respecte que variable estem multiplicant i a partir que terme, mentre que a la part superior escriurem l'últim terme a sumar.

En l'exemple anterior, resumirem multiplicar les sis primeres potències de dos amb: $P_{6} = \prod_{n = 1}^{6} 2^{n - 1}$

I multiplicar els tres-cents primers termes de la successió $a_{n} = - 2 (- \frac{3}{7})^{n}$ ho escriurem: $P_{300} = \prod_{n = 1}^{300} - 2 (- \frac{3}{7})^{n}$