Sumes infinites de sèries

Si en comptes de sumar només els $n$ primers termes d'una successió, els volem sumar tots, escriurem: $S = \sum_{n \geq 1} a_{n}$

Per indicar que estem sumant tots els termes a partir del primer. A aquesta suma $S$ l'anomenem sèrie.

Si la successió de la qual estem calculant la seva sèrie és una progressió geomètrica, podem estendre la fórmula: $S_{n} = \frac{a_{1} \cdot (1 - r^{n})}{1 - r}$ i en fer tendir $n$ a infinit, es poden donar dues situacions,

${\begin{cases} si r \leq 1 \Rightarrow r^{n} \to \infty \\ si r < 1 \Rightarrow r^{n} \to 0 \end{cases}$

Amb el que ens queden dues opcions:

En una progressió geomètrica de raó $r \geq 1$ , les sumes $S_{n}$ creixen arbitràriament en augmentar el valor de $n$ , i es diuen que tendeixen a infinit, o que la sèrie és divergent.
Per contra, una progressió geomètrica de raó $r < 1$ les sumes $S_{n}$ s'estacionen i s'acosten cada vegada més a la quantitat: $S = \frac{a_{1}}{1 - r}$ que anomenem suma de la sèrie. En aquest cas direm que la sèrie és convergent.

Continuant amb els exemples anteriors,

Exemple

$\sum_{n \geq 1} a_{n} = \sum_{n \geq 1} 3 \cdot 2^{n - 1}$ és divergent per ser la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $r = 2 \geq 1$ , mentre que la sèrie: $\sum_{n \geq 1} b_{n} = \sum_{n \geq 1} \frac{7}{3^{n - 1}} = \frac{b_{1}}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{21}{2}$ és convergent ja que és la sèrie d'una progressió geomètrica de raó $r = \frac{1}{3} < 1.$