Suma dels termes d'una progressió geomètrica

Exemple

Prenem la progressió geomètrica de primer terme $a_1=3$ i raó $r=2$. Denotem $S_n$ la suma dels primers $n$ termes, i calculem el valor de $S_n$ per a $n=1,2,3,\dots ,10$.

Els primers deu termes són:

$3,6,12,24,48,96,192,384,768,1.536$

I els valors de les sumes:

$S_1=3$

$S_2=3+6=9$

$S_3=3+6+12=21$

$S_4=3+6+12+24=45$

$S_5=3+6+12+24+48=93$

$S_6=3+6+12+24+48+96=189$

$S_7=3+6+12+24+48+96+192=381$

$S_8=3+6+12+24+48+96+192+284=765$

$S_9=3+6+12+24+48+96+192+284+768=1.533$

$S_{10}=3+6+12+24+48+96+192+284+768+1.536=3.069$

Tal com era d'esperar (estem sumant termes positius), obtenim un resultat cada vegada més gran. Després ens preguntem: poden arribar a ser tan grans com vulguem, o per contra, arribarà un moment en que s'estacionaran?

Considerem ara la progressió de primer terme $a_1=7$, i raó $r={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Escrivim els primers deu termes:

$7,{\displaystyle \frac{7}{3}},{\displaystyle \frac{7}{9}},{\displaystyle \frac{7}{27}},{\displaystyle \frac{7}{81}},{\displaystyle \frac{7}{243}},{\displaystyle \frac{7}{729}},{\displaystyle \frac{7}{2.187}},{\displaystyle \frac{7}{6.561}},{\displaystyle \frac{7}{19.683}}$

I calculem les sumes:

$S_1=7$

$S_2=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}=9,3$

$S_3=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}=10,1$

$S_4=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}=10,37037$

$S_5=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}=10,45679012$

$S_6=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}=10,4855967$

$S_7=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}=10,4951989$

$S_8=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}=10,498699639$

$S_9=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}+{\displaystyle \frac{7}{6.561}}=10,49946654$

$S_{10}=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}+$

$+{\displaystyle \frac{7}{6.561}}+{\displaystyle \frac{7}{19.683}}=10,49982218$

Observem que les sumes d'aquesta segona progressió són també cada vegada més grans, però el seu creixement no és tan ràpid com l'anterior exemple, de fet, sembla un creixement controlable: per als resultats obtinguts, les sumes s'acosten cada vegada més a $10,5$. Arribarà en algun moment a superar aquest valor, o pel contrari constituirà una cota superior als valors $S_n$? I en aquest cas, obtindrem una aproximació de $10,5$ tan bona com vulguem si sumem suficients termes?

Exemple

Si $a_n=3\cdot 2^{n-1}$, llavors, $$S_n={\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}}={\displaystyle \frac{3(1-2^2)}{1-2}}=3(2^n-1)$$

De tal manera que, si fem créixer $n$ indefinidament, $S_n$ no deixarà de créixer, ja que $2^n$ pot créixer indefinidament, si escollim una $n$ suficientment gran.

Si en aquesta expressió substituim $n$ per qualsevol valor, per eexemple per $10$, trobarem el resultat de sumar els primers $10$ termes.

Per altra banda, si $b_n={\displaystyle \frac{7}{3^{n-1}}}$, llavors, $$S_n={\displaystyle \frac{7(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{21}{2}}[1-({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^n]$$

En aquesta ocasió, la base de la potència n-èsima és menor que la unitat, el que significa que augmentat el valor de $n$, $({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^n$ disminueix.A causa d'això, el valor de $S_n$ s'estaciona per a $n$ suficientment grans.