Suma de los términos de una progresión geométrica

Ejemplo

Tomamos la progresión geométrica de primer término $a_1=3$ y razón $r=2$. Denotamos $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos, y calculamos el valor de $S_n$ para $n=1,2,3,\dots ,10$.

Los primeros diez términos son:

$3,6,12,24,48,96,192,384,768,1.536$

Y los valores de las sumas:

$S_1=3$

$S_2=3+6=9$

$S_3=3+6+12=21$

$S_4=3+6+12+24=45$

$S_5=3+6+12+24+48=93$

$S_6=3+6+12+24+48+96=189$

$S_7=3+6+12+24+48+96+192=381$

$S_8=3+6+12+24+48+96+192+284=765$

$S_9=3+6+12+24+48+96+192+284+768=1.533$

$S_{10}=3+6+12+24+48+96+192+284+768+1.536=3.069$

Tal como era de esperar (estamos sumando términos positivos), obtenemos un resultado cada vez mayor. Luego nos preguntamos: pueden llegar a ser tan grandes como queramos, o por contra, llegará un momento en que se estacionarán?

Consideremos ahora la progresión de primer término $a_1=7$, y razón $r={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Escribimos los diez primeros términos:

$7,{\displaystyle \frac{7}{3}},{\displaystyle \frac{7}{9}},{\displaystyle \frac{7}{27}},{\displaystyle \frac{7}{81}},{\displaystyle \frac{7}{243}},{\displaystyle \frac{7}{729}},{\displaystyle \frac{7}{2.187}},{\displaystyle \frac{7}{6.561}},{\displaystyle \frac{7}{19.683}}$

Y calculamos las sumas:

$S_1=7$

$S_2=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}=9,3$

$S_3=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}=10,1$

$S_4=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}=10,37037$

$S_5=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}=10,45679012$

$S_6=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}=10,4855967$

$S_7=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}=10,4951989$

$S_8=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}=10,498699639$

$S_9=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}+{\displaystyle \frac{7}{6.561}}=10,49946654$

$S_{10}=7+{\displaystyle \frac{7}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{7}{27}}+{\displaystyle \frac{7}{81}}+{\displaystyle \frac{7}{243}}+{\displaystyle \frac{7}{729}}+{\displaystyle \frac{7}{2.187}}+$

$+{\displaystyle \frac{7}{6.561}}+{\displaystyle \frac{7}{19.683}}=10,49982218$

Observemos que las sumas de esta segunda progresión son también cada vez mayores, pero su crecimiento no es tan rápido como el anterior ejemplo; de hecho, parece un crecimiento controlable: para los resultados obtenidos, las sumas se acercan cada vez más a $10,5$. Llegará en algún momento a superar este valor, o por lo contrario constituirá una cota superior a los valores $S_n$? Y en este caso, obtendremos una aproximación de $10,5$ tan buena como queramos si sumamos suficientes términos?

Ejemplo

Si $a_n=3\cdot 2^{n-1}$, entonces, $$S_n={\displaystyle \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}}={\displaystyle \frac{3(1-2^2)}{1-2}}=3(2^n-1)$$

De tal forma que, si hacemos crecer $n$ indefinidamente, $S_n$ no dejará de crecer, ya que $2^n$ puede crecer indefinidamente, si escogemos una $n$ suficientemente grande.

Si en esta expresión sustituimos $n$ por cualquier valor, por ejemplo por $10$, encontraremos el resultado de sumar los primeros $10$ términos.

Por otra parte, si $b_n={\displaystyle \frac{7}{3^{n-1}}}$, entonces, $$S_n={\displaystyle \frac{7(1-{\displaystyle \frac{1}{3^n}})}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{21}{2}}[1-({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^n]$$

En esta ocasión, la base de la potencia n-ésima es menor que la unidad, lo que significa que aumentado el valor de $n$, $({\displaystyle \frac{1}{3}}{)}^n$ disminuye. Debido a esto, el valor de $S_n$ se estaciona para $n$ suficientemente grandes.