Sumas infinitas de series

Si en vez de sumar solamente los $n$ primeros términos de una sucesión, los queremos sumar todos, escribiremos: $S = \sum_{n \geq 1} a_{n}$

Para indicar que estamos sumando todos los términos a partir del primero. A esta suma $S$ la denominamos serie.

Si la sucesión de la que estamos calculando su serie es una progresión geométrica, podemos extender la fórmula: $S_{n} = \frac{a_{1} \cdot (1 - r^{n})}{1 - r}$ y al hacer tender $n$ a infinito, se pueden dar dos situaciones,

${\begin{cases} si r \leq 1 \Rightarrow r^{n} \to \infty \\ si r < 1 \Rightarrow r^{n} \to 0 \end{cases}$

Con lo que nos quedan dos opciones:

En una progresión geométrica de razón $r \geq 1$ , las sumas $S_{n}$ crecen arbitráriamente al aumentar el valor de $n$ , y se dicen que tienden a infinito, o que la serie es divergente.
Por el contrario, una progresión geométrica de razón $r < 1$ las sumas $S_{n}$ se estacionan y se acercan cada vez más a la cantidad: $S = \frac{a_{1}}{1 - r}$ que llamamos suma de la serie. En este caso diremos que la serie es convergente.

Continuando con los ejemplos anteriores,

Ejemplo

$\sum_{n \geq 1} a_{n} = \sum_{n \geq 1} 3 \cdot 2^{n - 1}$ es divergente por ser la serie de una progresión geométrica de razón $r = 2 \geq 1$ , mientras que la serie:

$\sum_{n \geq 1} b_{n} = \sum_{n \geq 1} \frac{7}{3^{n - 1}} = \frac{b_{1}}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{21}{2}$

es convergente ya que es la serie de una progresión geométrica de razón $r = \frac{1}{3} < 1.$