Progresión geométrica: definición

Una progresión geométrica es un tipo de sucesión, es decir, una colección ordenada e infinita de números reales, donde cada término se obtiene multiplicando una cantidad constante al término anterior.

Ejemplo

Si consideramos la sucesión que tiene como primeros términos: $a = (3, 6, 12, 24, 48, \dots)$ y hacemos el cociente de cada término por el anterior, $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{6}{3} = 2,$ $\frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{12}{6} = 2,$ $\frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{24}{12} = 2,$ $\frac{a_{5}}{a_{4}} = \frac{48}{24} = 2.$

Podemos ver que este cociente es siempre un mismo número: $2$ . Así que podemos definir esta sucesión de forma recursiva multiplicando por $2$ para obtener el siguiente.

Haciendo una definición formal, diremos que una progresión geométrica, $(a_{n})_{n \in N}$ , es una sucesión en que el cociente entre dos términos consecutivos es constante, es decir:

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$

para cualquier natural $n$ . Llamaremos a la constante $r$ razón de la progresión.

Ejemplo

La sucesión $(1, 3, 9, 27, 81, \dots)$ es una sucesión geométrica de razón $r = 3$ .

La sucesión $(\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots)$ es una sucesión geométrica de razón $r = 2$ .

La sucesión $(1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \dots)$ es una sucesión geométrica de razón $r = \frac{1}{4}$ .