Término general de una progresión geométrica

Para encontrar el término general de una progresión geométrica utilizando la fórmula que las caracteriza, escribimos una expresión que las define recursivamente: $$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

Si aplicamos esta ley recursivamente para construir la sucesión, obtenemos que:

$$a_2=a_1\cdot r$$ $$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$ $$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2\cdot r)=a_1\cdot r^3$$ $$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3\cdot r)=a_1\cdot r^4$$ $$\dots$$

Y, en general nos queda que, $$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$ Esta expresión nos relaciona cualquier término de la sucesión con el primero a través de la razón de la progresión, es decir, es el término general de la progresión geométrica.

Los términos de una progresión geométrica se pueden expresar a partir de cualquier otro término con la siguiente expresión: $$a_m=a_k\cdot r^{m-k}$$ ya que, si aplicamos el término general a las posiciones $m$ y $k$, tenemos que: $$a_m=a_1\cdot r^{m-1}$$ $$a_k=a_1\cdot r^{k-1}$$ Y haciendo cociente de estas dos expresiones obtenemos: $${\displaystyle \frac{a_m}{a_k}}={\displaystyle \frac{a_1\cdot r^{m-1}}{a_1\cdot r^{k-1}}}={\displaystyle \frac{r^{m-1}}{r^{k-1}}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$ De donde se tiene: $$a_m=a_k\cdot r^{m-k}$$