Terme general d'una progressió geomètrica

Per trobar el terme general d'una progressió geomètrica utilitzant la fórmula que les caracteritza, escrivim una expressió que les defineix recursivament: $$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

Si apliquem aquesta llei recursivament per construir la successió, obtenim que:

$$a_2=a_1\cdot r$$ $$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$ $$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2\cdot r)=a_1\cdot r^3$$ $$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3\cdot r)=a_1\cdot r^4$$ $$\dots$$

I, en general tenim que $$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$ Aquesta expressió ens relaciona qualsevol terme de la successió amb el primer a través de la raó de la progressió, és a dir, és el terme general de la progressió geomètrica.

Els termes d'una progressió geomètrica es poden expressar a partir de qualsevol altre terme amb la següent expressió: $$a_m=a_k\cdot r^{m-k}$$ ja que, si apliquem el terme general a les posicions $m$ i $k$, tenim que $$a_m=a_1\cdot r^{m-1}$$ $$a_k=a_1\cdot r^{k-1}$$ fent quocient d'aquestes dues expressions obtenim: $${\displaystyle \frac{a_m}{a_k}}={\displaystyle \frac{a_1\cdot r^{m-1}}{a_1\cdot r^{k-1}}}={\displaystyle \frac{r^{m-1}}{r^{k-1}}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$ D'on tenim: $$a_m=a_k\cdot r^{m-k}$$