Progressió geomètrica: definició

Una progressió geomètrica és un tipus de successió, és a dir, una col·lecció ordenada i infinita de nombres reals, on cada terme s'obté multiplicant una quantitat constant al terme anterior.

Exemple

Si considerem la successió que té com a primers termes: $a = (3, 6, 12, 24, 48, \dots)$ i fem el quocient de cada terme per l'anterior, $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{6}{3} = 2,$ $\frac{a_{3}}{a_{2}} = \frac{12}{6} = 2,$ $\frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{24}{12} = 2,$ $\frac{a_{5}}{a_{4}} = \frac{48}{24} = 2.$

Podem veure que aquest quocient és sempre un mateix nombre: $2$ . Així que podem definir aquesta successió de forma recursiva multiplicant per $2$ per obtenir el següent.

Fent una definició formal, direm que una progressió geomètrica, $(a_{n})_{n \in N}$ , és una successió en què el quocient entre dos termes consecutius és constant, és a dir:

$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = r$

per a qualsevol natural $n$ . Anomenarem a la constant $r$ raó de la progressió.

Exemple

La successió $(1, 3, 9, 27, 81, \dots)$ és una successió geomètrica de raó $r = 3$ .

La successió $(\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots)$ és una successió geomètrica de raó $r = 2$ .

La successió $(1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \frac{1}{256}, \dots)$ és una successió geomètrica de raó $r = \frac{1}{4}$ .