Producto de n términos de una progresión geométrica

El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita calcular el producto de los primeros términos de una progresión geométrica sin necesidad de calcularlos.

Para hacerlo, utilizaremos la siguiente propiedad:

Si se consideran $n$ términos de una progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes de los extremos coincide con el producto de los extremos. Es decir, el producto del primero y el último término coincide con el producto del segundo y el penúltimo y con el producto del tercero y el antepenúltimo, etc, sea cual sea la cantidad de términos que estemos considerando de una progresión geométrica.

Ejemplo

Consideremos la progresión geométrica con primer término $a_{1} = 2^{0} = 1$ y razón $r = 2.$

Sus seis primeros términos son:

$a_{1} = 2^{0} = 1$ , $a_{2} = 2^{1} = 2$ , $a_{3} = 2^{2} = 4$ , $a_{4} = 2^{3} = 8$ , $a_{5} = 2^{4} = 16$ , $a_{6} = 2^{5} = 32.$

Si hacemos el producto entre los términos equidistantes, obtenemos que:

$a_{1} \cdot a_{6} = 2^{0} \cdot 2^{5} = 2^{5}$ , $a_{2} \cdot a_{5} = 2^{1} \cdot 2^{4} = 2^{5}$ , $a_{3} \cdot a_{4} = 2^{2} \cdot 2^{3} = 2^{5} .$

Con lo que, efectivamente, el producto de términos equidistantes a los extremos es igual al producto de los extremos.

Esto es debido a que los términos equidistantes se obtienen incrementando el primero y reduciendo el último con la misma proporción, por lo tanto, el producto de estos dos factores debe coincidir con el producto de los factores de partida: los extremos.

Sean $a_{1}$ y $a_{n}$ los extremos, y sea $a_{1 + k}$ un término situado $k$ posiciones después del primero, y $a_{n - k}$ un término situado $k$ posiciones antes del último, queremos ver que $a_{1} \cdot a_{n} = a_{1 + k} \cdot a_{n - k}$ .

Como estos términos forman parte de una progresión geométrica, sabemos que:

$a_{1 + k} = a_{1} \cdot r^{1 + k - 1} = a_{1} \cdot r^{k}$ $a_{n - k} = a_{n} \cdot r^{n - k - n} = a_{n} \cdot r^{- k}$

Y de aquí:

$a_{1 + k} \cdot a_{n - k} = (a_{1} \cdot r^{k}) \cdot (a_{n} \cdot r^{- k}) = (a_{1} \cdot a_{n}) \cdot (r^{k} \cdot r^{- k}) = a_{1} \cdot a_{n}$ que es lo que queríamos ver.

De aquí se tiene que el producto $P_{n}$ de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica vale:

$P_{n} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{n}}$

En efecto, si $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}$ son los $n$ primeros términos, será: $P_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n}$ , o bien, $P_{n} = a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot \dots \cdot a_{2} \cdot a_{1}$ .

Si se multiplican ambas igualdades miembro a miembro, obtenemos:

$(P_{n})^{2} = (a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n - 1} \cdot a_{n}) (a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot \dots \cdot a_{2} \cdot a_{1}) =$

$= (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{2} \cdot a_{n - 1}) \dots (a_{n - 1} \cdot a_{2}) (a_{n} \cdot a_{1})$

En el segundo miembro aparecen $n$ paréntesis que contienen el producto de dos términos equidistantes a los extremos que como acabamos de ver es igual al producto de los extremos.

Así que:

$(P_{n})^{2} = (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{1} \cdot a_{n}) \cdot \overset{n)}{\dots} \cdot (a_{1} \cdot a_{n}) (a_{1} \cdot a_{n}) = (a_{1} \cdot a_{n})^{n}$

Y sacando raíz cuadrada obtenemos:

$P_{n} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{n}}$ que es lo que queríamos ver.

Ejemplo

Para calcular el producto de los seis primeros múltiplos de $2$ , nos fijamos que se trata de una progresión geométrica de primer término $a_{1} = 2^{0} = 1$ y razón $r = 2$ .

Así que su término general es: $a_{n} = 2^{n - 1}$ , y el sexto término es: $a_{6} = 2^{6 - 1} = 2^{5}$ , así que el producto de los seis primeros es: $P_{6} = \sqrt{(a_{1} \cdot a_{n})^{6}} = \sqrt{(1 \cdot 2^{5})^{6}} = \sqrt{2^{3} 0} = 2^{15} = 32.768$

Para facilitar la escritura y simplificar la notación, para denotar el producto de una gran cantidad de números que no podemos escribir explícitamente, utilizaremos la letra griega Pi mayúscula: $\prod .$

En la parte inferior escribiremos respecto a que variable estamos multiplicando y a partir de que término, mientras que en la parte superior escribiremos el último término a sumar.

En el ejemplo anterior, resumiremos multiplicar las seis primeras potencias de dos con: $P_{6} = \prod_{n = 1}^{6} 2^{n - 1}$

Y multiplicar los tres cientos primeros términos de la sucesión $a_{n} = - 2 (- \frac{3}{7})^{n}$ lo escribiremos: $P_{300} = \prod_{n = 1}^{300} - 2 (- \frac{3}{7})^{n}$