El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita calcular el producto de los primeros términos de una progresión geométrica sin necesidad de calcularlos.
Para hacerlo, utilizaremos la siguiente propiedad:
Si se consideran $$n$$ términos de una progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes de los extremos coincide con el producto de los extremos. Es decir, el producto del primero y el último término coincide con el producto del segundo y el penúltimo y con el producto del tercero y el antepenúltimo, etc, sea cual sea la cantidad de términos que estemos considerando de una progresión geométrica.
Consideremos la progresión geométrica con primer término $$a_1=2^0=1$$ y razón $$r=2.$$
Sus seis primeros términos son:
$$a_1=2^0=1$$, $$a_2=2^1=2$$, $$a_3=2^2=4$$, $$a_4=2^3=8$$, $$a_5=2^4=16$$, $$a_6=2^5=32.$$
Si hacemos el producto entre los términos equidistantes, obtenemos que:
$$a_1 \cdot a_6=2^0 \cdot 2^5=2^5$$, $$a_2 \cdot a_5=2^1 \cdot 2^4=2^5$$, $$a_3 \cdot a_4=2^2 \cdot 2^3=2^5.$$
Con lo que, efectivamente, el producto de términos equidistantes a los extremos es igual al producto de los extremos.
Esto es debido a que los términos equidistantes se obtienen incrementando el primero y reduciendo el último con la misma proporción, por lo tanto, el producto de estos dos factores debe coincidir con el producto de los factores de partida: los extremos.
Sean $$a_1$$ y $$a_n$$ los extremos, y sea $$a_{1+k}$$ un término situado $$k$$ posiciones después del primero, y $$a_{n-k}$$ un término situado $$k$$ posiciones antes del último, queremos ver que $$a_1\cdot a_n=a_{1+k}\cdot a_{n-k}$$.
Como estos términos forman parte de una progresión geométrica, sabemos que:
$$$a_{1+k}=a_1\cdot r^{1+k-1}=a_1\cdot r^k$$$ $$$a_{n-k}=a_n\cdot r^{n-k-n}=a_n\cdot r^{-k}$$$
Y de aquí:
$$$a_{1+k}\cdot a_{n-k} =(a_1\cdot r^k)\cdot (a_n\cdot r^{-k})=(a_1 \cdot a_n)\cdot (r^k\cdot r^{-k})=a_1 \cdot a_n$$$ que es lo que queríamos ver.
De aquí se tiene que el producto $$P_n$$ de los $$n$$ primeros términos de una progresión geométrica vale:
$$$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} $$$
En efecto, si $$a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n$$ son los $$n$$ primeros términos, será: $$P_n=a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n$$, o bien, $$P_n=a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1$$.
Si se multiplican ambas igualdades miembro a miembro, obtenemos:
$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n)(a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1)=$$
$$=(a_1\cdot a_n)(a_2\cdot a_{n-1})\cdots (a_{n-1}\cdot a_2)(a_n\cdot a_1)$$
En el segundo miembro aparecen $$n$$ paréntesis que contienen el producto de dos términos equidistantes a los extremos que como acabamos de ver es igual al producto de los extremos.
Así que:
$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)\cdot \overset{n)}{\ldots} \cdot (a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)=(a_1\cdot a_n)^n$$
Y sacando raíz cuadrada obtenemos:
$$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$$ que es lo que queríamos ver.
Para calcular el producto de los seis primeros múltiplos de $$2$$, nos fijamos que se trata de una progresión geométrica de primer término $$a_1=2^0=1$$ y razón $$r=2$$.
Así que su término general es: $$a_n=2^{n-1}$$, y el sexto término es: $$a_6=2^{6-1}=2^5$$, así que el producto de los seis primeros es: $$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^6}=\sqrt{(1\cdot 2^5)^6}=\sqrt{2^30}=2^{15}=32.768$$$
Para facilitar la escritura y simplificar la notación, para denotar el producto de una gran cantidad de números que no podemos escribir explícitamente, utilizaremos la letra griega Pi mayúscula: $$\prod.$$
En la parte inferior escribiremos respecto a que variable estamos multiplicando y a partir de que término, mientras que en la parte superior escribiremos el último término a sumar.
En el ejemplo anterior, resumiremos multiplicar las seis primeras potencias de dos con: $$$P_6=\prod_{n=1}^6 2^{n-1}$$$
Y multiplicar los tres cientos primeros términos de la sucesión $$a_n=-2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$$ lo escribiremos: $$$P_{300}=\prod_{n=1}^{300} -2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$$$