Ejercicios de Producto de n términos de una progresión geométrica

Desarrollo:

El término general de la sucesión con primer término $a_1=1$ y razón $r={\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}={\displaystyle \frac{0.1}{1}}=0.1={\displaystyle \frac{1}{10}}$, es

$$a_n={\displaystyle \frac{1}{{10}^{n-1}}}$$

Queremos encontrar un natural $m$ tal que el producto de los $m$ primeros términos de la sucesión sea ${10}^{-45}$, es decir, que:

$$P_m=\prod _{n=1}^m{\displaystyle \frac{1}{{10}^{n-1}}}=1^{10}\cdot {10}^{-45}$$

pero sabemos que:

$$P_m=\sqrt{(a_1\cdot a_m{)}^m}=\sqrt{(1\cdot {\displaystyle \frac{1}{{10}^{m-1}}}{)}^m}$$

Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:

$${10}^{-45}=\sqrt{({\displaystyle \frac{1}{{10}^{m-1}}}{)}^m}$$

Y aislando la variable de esta ecuación racional:

$$({\displaystyle \frac{1}{{10}^{m-1}}}{)}^{\frac{m}{2}}={10}^{-45}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{{10}^{\frac{m}{2}(m-1)}}}={\displaystyle \frac{1}{{10}^{45}}}\Rightarrow$$

$${10}^{\frac{m(m-1)}{2}}={10}^{45}\Rightarrow {\displaystyle \frac{m^2-m}{2}}=45\Rightarrow$$

$$m^2-m-90=0$$

Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:

$$m^2-m-90=0\Rightarrow m=\{10,-9\}$$

Sabemos que $m$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $m=10$.

Solución:

Es preciso sumar los $10$ primeros términos.

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Desarrollo:

El término general de esta progresión es de la forma $a_n=\sqrt{7}\cdot r^{n-1}$ ya que ignoramos el valor de la razón, pero tenemos que el primer término es $\sqrt{7}$.

Por otra parte, el producto de los seis primeros términos vale $\sqrt{7^{21}}$, y si hacemos el cálculo, tenemos que:

$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_6{)}^6}=\sqrt{(\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}\cdot r^5{)}^6}=\sqrt{7^6\cdot r^{30}}=7^3\cdot r^{15}$$

Así que,

$$7^3\cdot r^{15}=\sqrt{7^{21}}\Rightarrow r^{15}=\sqrt{7^{15}}\Rightarrow r^{15}=(\sqrt{7}{)}^{15}\Rightarrow r=\sqrt{7}$$

Por lo tanto, el término general de la sucesión nos queda como: $$a_n=\sqrt{7^n}$$ Con lo que $$a_1=\sqrt{7},a_2=7,a_3=7\sqrt{7},a_4=49,a_5=49\sqrt{7}$$

Solución:

$a_1=\sqrt{7},a_2=7,a_3=7\sqrt{7},a_4=49,a_5=49\sqrt{7}$

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