Exercicis de Sumes infinites de sèries

Desenvolupament:

Estudiem primer el valor del numerador: $-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{16}}-\dots$

És la suma d'una progressió geomètrica de primer terme $a_1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, i raó $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$, així que val:

$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{16}}-\dots =\sum _{n\ge 1}-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-1$$

A continuació mirem el valor del denominador: ${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{45}}+\dots$

Torna a ser la suma d'una progressió geomètrica, aquesta vegada de primer terme $b_1={\displaystyle \frac{3}{5}}$ i raó $r={\displaystyle \frac{1}{3}}$, així que:

$${\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{45}}+\dots =\sum _{n\ge 1}{\displaystyle \frac{1}{5\cdot 3^{n-2}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$$

D'aquesta manera ens queda que:

$${\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{16}}-\dots }{{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{45}}+\dots }}={\displaystyle \frac{-1}{{\displaystyle \frac{9}{10}}}}=-{\displaystyle \frac{10}{9}}$$

Solució:

$-{\displaystyle \frac{10}{9}}$

Amagar desenvolupament i solució