Semblança entre dues figures: triangles

Col·loquialment, es diu que dos objectes són semblants si tenen la mateixa forma però són de diferent mida. Noteu que els dos objectes poden tenir orientació diferent però ser semblants, és a dir, l'únic important per determinar si dos objectes són o no semblants, és la seva forma.

Definim una semblança com la composició d'una rotació o simetria i una translació en el pla. Per saber més coses sobre aquest tipus de transformacions geomètriques, hi ha una tema que parla íntegrament sobre això.

En el cas dels triangles, doncs, direm que dos triangles són semblants si tenen la mateixa forma. Aquesta depèn de les vores del triangle (no així en el cas d'un rectangle, per exemple, on els angles són tots rectes però la forma pot ser més o menys allargada, és a dir que depèn del quocient longitud / amplada).

Es pot simplificar així la definició: dos triangles són semblants si els seus angles són iguals dos a dos.

A la figura, els angles corresponents són $A=A^{\prime }$, $B=B^{\prime }$ i $C=C^{\prime }$. Per denotar que dos triangles $ABC$ i $DEF$ són semblants s'escriu $ABC\sim DEF$, on l'ordre indica la correspondència entre els angles: $A,B$ i $C$ es corresponen amb $D,E$ i $F$, respectivament.

Una semblança té la propietat (que la caracteritza) de multiplicar totes les longituds per un mateix factor. Per tant les raons longitud imatge / longitud origen són totes iguals, el que dóna una segona caracterització dels triangles semblants: Dos triangles són semblants si les raons dels costats corresponents són iguals.

De les dues caracteritzacions anteriors podem treure la següent equació: $$(ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\iff \begin{array}{c}\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}\\ \hat{B}=\widehat{B^{\prime }}\\ \hat{C}=\widehat{C^{\prime }}\end{array}\iff {\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}}={\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overline{AC}}}={\displaystyle \frac{\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overline{BC}}}$$

Noteu que amb la notació $\hat{A}$ ens referim a l'angle que es troba en el vèrtex $A$.

D'aquestes igualtats, es poden treure dos resultats importants:

1. Tots els triangles equilàters són semblants.
2. Si dos triangles tenen dos angles iguals, els tercers són també iguals.

Finalment, donarem unes propietats bàsiques de les semblances dels triangles:

• Propietat reflexiva: Tot triangle és semblant a si mateix.

• Propietat simètrica: Si un triangle és semblant a un altre, aquell és semblant al primer.

• Propietat transitiva: Si un triangle és semblant a un altre, i aquest és semblant a un tercer, el primer és semblant al tercer.

Criteris de semblança de triangles

Triangles rectangles

En aquesta primera part donarem criteris de semblances entre els triangles rectangles.

• 1) Dos triangles rectangles són semblants si tenen un angle agut igual.

$\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$

• 2) Dos triangles rectangles són semblants si tenen els dos catets proporcionals.

${\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$

• 3) Dos triangles rectangles són semblants si tenen proporcionals la hipotenusa i un catet.

${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}$

Triangles en general

En aquesta segona part, donarem uns criteris una mica més generals per determinar la semblança entre triangles.

• 4) Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals.

$A=A^{\prime }B=B^{\prime }$

• 5) Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals.

${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$

• 6) Dos triangles són semblants si tenen dos costats proporcionals i l'angle comprès entre ells igual.

$B=B^{\prime }{\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$