Semejanza entre dos figuras: triángulos

Coloquialmente, se dice que dos objetos son semejantes si tienen la misma forma pero son de distinto tamaño. Nótese que los dos objetos pueden tener orientación distinta pero ser semejantes, o sea, lo único importante para determinar si dos objetos son o no semejantes, es su forma.

Definimos una semejanza como la composición de una rotación o simetría y una traslación en el plano. Para saber más cosas sobre este tipo de transformaciones geométricas, hay un tema que habla íntegramente sobre ello.

En el caso de los triángulos, pues, diremos que dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma. Esta depende de los ángulos del triángulo(no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde los ángulos son todos rectos pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente longitud / anchura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son $A=A^{\prime }$, $B=B^{\prime }$ y $C=C^{\prime }$. Para denotar que dos triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes se escribe $ABC\sim DEF$, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: $A,B$ y $C$ se corresponden con $D,E$ y $F$, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son iguales.

De las dos caracterizaciones anteriores, podemos sacar la siguiente ecuación: $$(ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\iff \begin{array}{c}\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}\\ \hat{B}=\widehat{B^{\prime }}\\ \hat{C}=\widehat{C^{\prime }}\end{array}\iff {\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}}{\overline{AB}}}={\displaystyle \frac{\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overline{AC}}}={\displaystyle \frac{\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}}{\overline{BC}}}$$

Nótese que con la notación $\hat{A}$ nos referimos al ángulo que se encuentra en el vértice $A$.

De estas igualdades, se pueden sacar dos resultados importantes:

1. Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
2. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros son también iguales.

Finalmente, vamos a dar unas propiedades básicas de las semejanzas de los triángulos:

• Propiedad reflexiva: Todo triángulo es semejante a sí mismo.

• Propiedad simétrica: Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

• Propiedad transitiva: Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Criterio de semejanza de triángulos

Triángulos rectángulos

En esta primera parte vamos a dar criterios de semejanzas entre los triángulos rectángulos.

• 1) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.

$\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$

• 2) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

${\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$

• 3) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}$

Triángulos en general

En esta segunda parte, daremos unos criterios un poco más generales para determinar la semejanza entre triángulos.

• 4) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

$A=A^{\prime }B=B^{\prime }$

• 5) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

${\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{b}{b^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$

• 6) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

$B=B^{\prime }{\displaystyle \frac{a}{a^{\prime }}}={\displaystyle \frac{c}{c^{\prime }}}$