Ángulos en radianes

Sabemos como medir la amplitud de un ángulo mediante grados, que además podemos dividir en los submúltiplos minutos y segundos.

Pero hay otra manera de medir ángulos. Se puede hacer mediante la unidad a la que llaman radián.

Un radián es el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo. Veamos un dibujo para entenderlo mejor

imagen

Así que un radián marca un ángulo que tiene de longitud de circunferencia una largada igual al radio. Así pues, se tiene que un ángulo completo tiene $2 π$ radianes, un ángulo llano tiene $π$ radianes, y un ángulo recto tiene $\frac{π}{2}$ radianes.

Esto sale de saber que la longitud total de una circunferencia es:

$L = 2 \cdot π \cdot r$

donde $r$ es el radio de dicha circunferencia.

Por lo tanto la vuelta completa tiene $2 π$ veces la longitud del radio, pero una vuelta completa eran $360^{\circ}$ de manera que, ya tenemos la manera de pasar de una medida a otra: $2 \cdot π$ radianes $= 360^{\circ}$ (una vuelta completa).

De manera que los factores de conversión que usaremos para pasar de una a otra serán:

para pasar de grados a radianes

$N^{\circ} = N^{\circ} \cdot \frac{2 π radianes}{360^{\circ}} = \frac{N \cdot 2 π}{360}$ radianes donde $N$ es un número cualquiera de grados que queremos expresar en radianes.

para pasar de radianes a grados

$M$ radianes = $M radianes \cdot \frac{360^{\circ}}{2 π radianes} = (\frac{M \cdot 360}{2 π})^{\circ}$ donde $M$ es un número cualquiera de radianes que queremos expresar en grados.

Ejemplo

Escribimos $270^{\circ}$ en radianes:

Cogiendo el factor de conversión de grados a radianes tenemos $270^{\circ} \cdot \frac{2 π radianes}{360^{\circ}} = \frac{270 \cdot 2 π}{360} radianes = \frac{3}{2} π radianes$

Cuando expresamos las cantidades en radianes, se acostumbra a dejar el número $π$ indicado.

Si se quiere dejarlo en cifras, se sustituirá dicho símbolo por la aproximación $3.1416$ .

Es decir, en este ejemplo:

$\frac{3}{2} π = \frac{3}{2} \cdot 3, 1416 = 4, 71225 radianes$ .

Ejemplo

Escribimos $45^{\circ}$ en radianes: $45^{\circ} \cdot \frac{2 π radianes}{360^{\circ}} = \frac{45 \cdot 2 π}{360} radianes = \frac{π}{4} radianes$ que en cifras serían aproximadamente: $\frac{π}{4} = \frac{3, 1416}{4} = 0, 7853 radianes$

Ejemplo

Escribimos ahora $3 π$ radianes en grados:

Como antes cogemos el factor de conversión, pero ahora el que nos pasa de radianes a grados y obtenemos:

$3 π radianes = 3 π \cdot \frac{360^{\circ}}{2 π} = 540^{\circ}$

Ejemplo

Escribimos $\frac{6 π}{5} radianes$ en grados:

$\frac{6}{5} π radianes = \frac{6}{5} π \frac{360^{\circ}}{2 π} = 216^{\circ}$