Dodecaedro regular: Área y volumen

Ejemplo

Encontrar el área de un dodecaedro de arista $a=10m$.

Para calcular el área del dodecaedro regular de arista $a$ será necesario encontrar primero el área de un pentágono regular de lado $a$.

Será necesario utilizar la trigonometría para encontrar el área del pentágono a partir de $a$. Esto puede ser muy útil, ya que $ap$ no será un dato habitual en problemas como encontrar el área de un pentágono, o de un dodecaedro.

Puesto que los cinco triángulos de altura $ap$ que componen el pentágono son iguales, $$\begin{gathered} A_{pentágono}=5\cdot ({\displaystyle \frac{a\cdot ap}{2}}) \\ {b}^2=a{p}^2+({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2 \end{gathered}$$ Se procede a buscar $b$. Sabiendo que, $\beta ={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$ Y utilizando la definición del seno en el triángulo formado por $ap$, $b$, y ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ $$\begin{gathered} \sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}=\sin {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{opuesto}{hipotenusa}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}}{b}} \\ b={\displaystyle \frac{5}{\sin {36}^{\circ }}}=8,5m \\ 8,5^2=a{p}^2+5^2 \\ ap=6,9m \end{gathered}$$

Así pues, $$\begin{gathered} A_{pentágono}=5\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot 6,9}{2}}=172m^2 \\ {A}_{dodecaedro}=2063,5m^2 \end{gathered}$$

Finalmente, las siguientes expresiones permiten encontrar el área y el volumen del dodecaedro de arista $a$: $$\begin{gathered} A=30\cdot a\cdot ap \\ V={\displaystyle \frac{1}{4}}(15+7\sqrt{5})a^3 \end{gathered}$$