Dodecàedre regular: Àrea i volum

Exemple

Trobar l'àrea d'un dodecàedre d'aresta $a=10m$.

Per calcular l'àrea del dodecaedre regular d'aresta $a$ serà necessari trobar primer l'àrea d'un pentàgon regular de costat $a$ .

Serà necessari utilitzar la trigonometria per trobar l'àrea del pentàgon a partir de $a$. Això pot ser molt útil, ja que $ap$ no serà una dada habitual en problemes com trobar l'àrea d'un pentàgon, o d'un dodecàedre.

Com que els cinc triangles d'altura $ap$ que componen el pentàgon són iguals, $$\begin{gathered} A_{pentàgon}=5\cdot ({\displaystyle \frac{a\cdot ap}{2}}) \\ {b}^2=a{p}^2+({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2 \end{gathered}$$ Es procedeix a cercar $b$. Sabent que, $\beta ={\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$ i utilitzant la definició del sinus en el triangle format per $ap$, $b$, i ${\displaystyle \frac{a}{2}}$ $$\begin{gathered} \sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}=\sin {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{oposat}{hipotenusa}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}}{b}} \\ b={\displaystyle \frac{5}{\sin {36}^{\circ }}}=8,5m \\ 8,5^2=a{p}^2+5^2 \\ ap=6,9m \end{gathered}$$

Així, $$\begin{gathered} A_{pentàgon}=5\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot 6,9}{2}}=172m^2 \\ {A}_{dodecàedre}=2063,5m^2 \end{gathered}$$

Finalment, les següents expressions permeten trobar l'àrea i volum del dodecàedre d'aresta $a$: $$\begin{gathered} A=30\cdot a\cdot ap \\ V={\displaystyle \frac{1}{4}}(15+7\sqrt{5})a^3 \end{gathered}$$