La media, la varianza y la desviación típica

La media

Se puede interpretar la media como el centro de gravedad de la función probabilidad. La media tenderá a encontrarse más cerca de los resultados más probables del experimento aleatorio.

La expresión general de la media será: $μ = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + x_{3} \cdot p_{3} + \dots + x_{n} \cdot p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i}$

Ejemplo

La media del resultado de un dado es $x_{i} = i$ es decir, $x_{1} = 1, x_{2} = 2, \dots, x_{6} = 6$ y $p = \frac{1}{6}$ , con lo que: $μ = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 21 = 3.5$

La varianza

La varianza da una idea de la variación de los resultados respecto al valor medio. La expresión general de la varianza es: $σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i} - μ^{2}$

Ejemplo

Calcular la varianza de la variable del resultado de tirar un dado.

Se calcula primero la media del resultado del dado: $μ = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 21 = 3.5$

Y luego, con $x_{i} = i$ $x_{1} = 1, x_{2} = 2, \dots, x_{6} = 6$ y $p = \frac{1}{6}$ . Se calcula $σ^{2} = \frac{1}{6} \cdot 1^{2} + \frac{1}{6} \cdot 2^{2} + \frac{1}{6} \cdot 3^{2} \frac{1}{6} \cdot 4^{2} + \frac{1}{6} \cdot 5^{2} + \frac{1}{6} \cdot 6^{2} - {3.5}^{2} =$ $= \frac{1}{6} \cdot 91 - 12.25 = 2.91$

La desviación típica

La desviación típica o estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y tiene la siguiente expresión: $σ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i} - μ^{2}}$

En el ejemplo anterior, $σ = \sqrt{2.91} = 1.7$