La mitjana, la variància i la desviació típica

La mitjana

Es pot interpretar la mitjana com el centre de gravetat de la funció probabilitat. La mitjana tendirà a trobar-se més a prop dels resultats més probables de l'experiment aleatori.

L'expressió general de la mitjana serà: $μ = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + x_{3} \cdot p_{3} + \dots + x_{n} \cdot p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i}$

Exemple

La mitjana del resultat d'un dau és: $x_{i} = i$ és a dir, $x_{1} = 1, x_{2} = 2, \dots, x_{6} = 6$ i $p = \frac{1}{6}$ , i per tant: $μ = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 21 = 3.5$

La variància

La variància dóna una idea de la variació dels resultats respecte al valor mitjà. L'expressió general de la variància és: $σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i} - μ^{2}$

Exemple

Calcular la variància de la variable del resultat de tirar un dau.

Es calcula primer la mitjana del resultat del dau: $μ = \frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{6} \cdot 2 + \frac{1}{6} \cdot 3 \frac{1}{6} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot 5 + \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{1}{6} \cdot 21 = 3.5$

I després, amb $x_{i} = i$ $x_{1} = 1, x_{2} = 2, \dots, x_{6} = 6$ i $p = \frac{1}{6}$ . Es calcula $σ^{2} = \frac{1}{6} \cdot 1^{2} + \frac{1}{6} \cdot 2^{2} + \frac{1}{6} \cdot 3^{2} \frac{1}{6} \cdot 4^{2} + \frac{1}{6} \cdot 5^{2} + \frac{1}{6} \cdot 6^{2} - {3.5}^{2} =$ $= \frac{1}{6} \cdot 91 - 12.25 = 2.91$

La desviació típica

La desviació típica o estàndard és l'arrel quadrada de la variància, i té la següent expressió: $σ = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot p_{i} - μ^{2}}$

En l'exemple anterior, $σ = \sqrt{2.91} = 1.7$