Regla de Sarrus: Cálculo de determinantes de orden 3

Véase ahora como calcular el determinante de una matriz $3 \times 3$ matrix. La regla de Sarrus es válida solamente para determinantes $3 \times 3$ .

Tenemos nuestro determinante de una matriz $3 \times 3$ cualquiera, por ejemplo:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$

Volvemos a escribir las dos primeras filas ocupando unas hipotéticas cuarta y quinta fila respectivamente:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}$

Una vez hecho esto el cálculo del determinante es como sigue:

Multiplicamos los elementos por diagonales.
Las diagonales descendentes de izquierda a derecha llevan un signo $+$ , mientras que las de derecha a izquierda, también descendentes, llevan el signo $-$ .

$\begin{matrix} | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \end{matrix} = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 4 \cdot 8 \cdot 3 + 7 \cdot 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 6 \cdot 8 \cdot 1 - 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0$

Mira ahora el siguiente ejemplo,

Ejemplo

$| \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 0 \end{matrix} | \to \begin{matrix} | \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 0 \end{matrix} | \\ \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{matrix} \end{matrix} = 9 \cdot 4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 \cdot 5 + 8 \cdot 1 \cdot 7 - 5 \cdot 4 \cdot 8 - 7 \cdot 2 \cdot 9 - 0 \cdot 1 \cdot 3 =$

$= 86 - 286 = - 200$

Como se ve el método es muy sencillo, aunque el número de operaciones a realizar es grande y la posibilidad de error en el cálculo también.

Existen ciertas propiedades que agilizan los cálculos, aunque es habitual también recorrer al uso de calculadoras potentes para el cálculo de determinantes.