Vegem ara com calcular el determinant d'una matriu$$3 \times 3$$. La regla de Sarrus és vàlida només per a determinants $$3 \times 3$$.
Tenim el nostre determinant d'una matriu $$3 \times 3$$ qualsevol, per exemple:
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$$
Tornem a escriure les dues primeres files ocupant unes hipotètiques quarta i cinquena fila respectivament:
$$$\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix}\\ 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}$$$
Un cop fet això el càlcul del determinant es fa de la manera següent:
- Multipliquem els elements per diagonals.
- Les diagonals descendents d'esquerra a dreta porten un signe $$+$$, mentre que les de dreta a esquerra, també descendents, porten el signe $$-$$.
$$$\begin{matrix} \left| \begin {matrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}\end{matrix}= 1 \cdot 5 \cdot 9+4 \cdot 8\cdot 3+7\cdot 2 \cdot 6 -3\cdot 5 \cdot 7 -6 \cdot 8 \cdot 1 - 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0$$$
Vegem ara el següent exemple,
$$$\left|\begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \rightarrow \begin{matrix} \left|\begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{matrix}\end{matrix}= 9 \cdot 4 \cdot 0+3 \cdot 2 \cdot 5+8\cdot 1 \cdot 7 -5\cdot 4 \cdot 8 -7 \cdot 2 \cdot 9 - 0 \cdot 1 \cdot 3 =$$$
$$$= 86-286=-200$$$
Com es veu el mètode és molt senzill, encara que el nombre d'operacions a realitzar és gran i la possibilitat d'error en el càlcul també.
Hi ha certes propietats que agiliten els càlculs, encara que és habitual també recórrer a l'ús de calculadores potents per al càlcul de determinants.