Regla de Sarrus: Càlcul de determinants d'ordre 3

Vegem ara com calcular el determinant d'una matriu $3 \times 3$ . La regla de Sarrus és vàlida només per a determinants $3 \times 3$ .

Tenim el nostre determinant d'una matriu $3 \times 3$ qualsevol, per exemple:

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$

Tornem a escriure les dues primeres files ocupant unes hipotètiques quarta i cinquena fila respectivament:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}$

Un cop fet això el càlcul del determinant es fa de la manera següent:

Multipliquem els elements per diagonals.
Les diagonals descendents d'esquerra a dreta porten un signe $+$ , mentre que les de dreta a esquerra, també descendents, porten el signe $-$ .

$\begin{matrix} | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \end{matrix} = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 4 \cdot 8 \cdot 3 + 7 \cdot 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \cdot 7 - 6 \cdot 8 \cdot 1 - 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0$

Vegem ara el següent exemple,

Exemple

$| \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 0 \end{matrix} | \to \begin{matrix} | \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \\ 8 & 2 & 0 \end{matrix} | \\ \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{matrix} \end{matrix} = 9 \cdot 4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 \cdot 5 + 8 \cdot 1 \cdot 7 - 5 \cdot 4 \cdot 8 - 7 \cdot 2 \cdot 9 - 0 \cdot 1 \cdot 3 =$

$= 86 - 286 = - 200$

Com es veu el mètode és molt senzill, encara que el nombre d'operacions a realitzar és gran i la possibilitat d'error en el càlcul també.

Hi ha certes propietats que agiliten els càlculs, encara que és habitual també recórrer a l'ús de calculadores potents per al càlcul de determinants.