Com sabem, el càlcul d'un determinant $$3 \times 3$$ és bastant llarg. El nombre d'operacions és elevat, i més ho serà quan haguem de calcular determinants $$4 \times 4$$ o fins i tot més grans.
Sabem també que la regla de Sarrus és vàlida únicament per al càlcul de determinants $$3\times 3$$. Vegem ara un mètode més general.
Comencem amb alguns exemples de determinants $$3 \times 3$$ per veure si la teva intuïció t'ajuda a trobar la regla general per al càlcul de determinants.
$$$\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}\right|=1 \cdot \left|\begin{matrix} 4 & 5 \\ 0 & 2\end{matrix}\right|-0 \cdot \left|\begin{matrix}2 & 5 \\ 1 & 2\end{matrix}\right|+2 \cdot \left|\begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 0\end{matrix}\right|=$$$
$$$=1 \cdot (4 \cdot 2-5\cdot 0)-0+2\cdot (2\cdot 0-4\cdot 1)=8-0-8=0$$$
$$$\left|\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right|=1 \cdot \left|\begin{matrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{matrix}\right|-2 \cdot \left|\begin{matrix}4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix}\right|+3 \cdot \left|\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix}\right|=$$$
$$$=1 \cdot (5 \cdot 9- 6 \cdot 8)-2 \cdot (4 \cdot 9- 6\cdot 7 )+3\cdot (4 \cdot 8 -5 \cdot 7)=-3+12-9=0$$$
Com es veu el procediment és senzill. El determinant d'una matriu és la suma dels productes dels elements d'una fila pels seus adjunts.
En aquests dos casos resolts, s'ha triat la primera fila i s'ha multiplicat cada un dels seus elements pel seu corresponent adjunt.
Vegem el mateix exemple i anem pas a pas:
$$$\left|\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right|$$$
Es tria una fila, per exemple, la primera $$(1 2 3)$$, i es comença pel primer element, és a dir l'$$1$$.
- Es calcula el seu adjunt.
$$$\left|\begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/}3 \\ \rlap{/}4 & 5 & 6\\ \rlap{/}7 & 8 & 9\end{matrix}\right|=5 \cdot 9-8\cdot 6=-3$$$
(no hem de canviar el signe, ja que $$1+1=2$$, que és parell).
- Multipliquem el terme escollit, és a dir $$1$$, pel seu adjunt corresponent.
$$$1 \cdot \left| \begin{matrix}5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix}\right|= 1 \cdot (5 \cdot 9-6 \cdot 8)=-3$$$
I així successivament amb els següents elements.
Es tria el segon terme, és a dir el $$2$$.
- Es calcula el seu adjunt.
$$$\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/} 3\\ 4 & \rlap{/}5 & 6\\ 7 & \rlap{/}8 & 9\end{matrix}\right|$$$
No s'ha d'oblidar el signe menys!!! ($$1+2=3$$, que és senar).
$$$-2 \cdot \left| \begin{matrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{matrix}\right|=-2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7)=12$$$
- Trio l'últim terme i repeteixo el procés, ara amb el signe positiu
$$$\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/} 3\\ 4 &5 & \rlap{/}6\\ 7 & 8 & \rlap{/}9\end{matrix}\right|=3 \cdot \left| \begin{matrix}4 & \\ 7 & 8 \end{matrix}\right|=3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)=3 \cdot (4 \cdot 8- 5 \cdot 7)= 3 \cdot (-3)=-9$$$
- Finalment sumem els tres casos. En aquest exemple el resultat és zero.
En resum:
$$$\left| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right|=\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/}3 \\ \rlap{/}4 & 5 & 6\\ \rlap{/}7 & 8 & 9\end{matrix}\right|-\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/}3 \\ 4 & \rlap{/}5 & 6\\ 7 & \rlap{/}8 & 9\end{matrix}\right|+\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}2 & \rlap{/}3 \\ 4 & 5 & \rlap{/}6\\ 7 & 8 & \rlap{/}9\end{matrix}\right|=1 \cdot \left| \begin{matrix}5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix}\right|-2 \cdot \left| \begin{matrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{matrix}\right|+3 \cdot \left| \begin{matrix}4 & \\ 7 & 8 \end{matrix}\right|$$$
i utilitzant el que sabem per als determinants $$2 \times 2$$ resolem aquest cas.
Regles per al càlcul de determinants superiors
Per fer-ho se segueix mateix mètode. Es multipliquen els components d'una fila per les seves adjunts corresponents. Això és:
$$$\left| \begin{matrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2\end{matrix}\right|= \left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 & \rlap{/}1 \\ \rlap{/}0 & 3 & 2 & 1 \\ \rlap{/}2 & 4 & 1 & 2 \\ \rlap{/}3 & 1 & 0 & 2\end{matrix}\right| -\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 & \rlap{/}1 \\ 0 & \rlap{/}3 & 2 & 1 \\ 2 & \rlap{/}4 & 1 & 2 \\ 3 & \rlap{/}1 & 0 & 2\end{matrix}\right| +\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 & \rlap{/}1 \\ 0 & 3 & \rlap{/}2 & 1 \\ 2 & 4 & \rlap{/}1 & 2 \\ 3 & 1 & \rlap{/}0 & 2\end{matrix}\right|-\left| \begin{matrix}\rlap{/}1 & \rlap{/}0 & \rlap{/}2 & \rlap{/}1 \\ 0 & 3 & 2 & \rlap{/}1 \\ 2 & 4 & 1 & \rlap{/}2 \\ 3 & 1 & 0 & \rlap{/}2\end{matrix}\right| $$$
Com en el cas de determinants $$3 \times 3$$ això es redueix a multiplicar cada element de la primera fila pels determinants de "el que queda sense ", sense oblidar-nos del signe que correspongui. Això és:
$$$\left| \begin{matrix}1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2\end{matrix}\right|= 1 \cdot \left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2\end{matrix}\right|- 0 \cdot \left| \begin{matrix}0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2\end{matrix}\right|+2 \cdot \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 2\end{matrix}\right|-1 \cdot \left| \begin{matrix}0 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 0 \end{matrix}\right|$$$
Resolent doncs quatre determinants $$3 \times 3$$ i utilitzant l'expressió anterior podria calcular el determinant de la matriu $$4 \times 4$$.
Aquest mateix mètode es pot utilitzar per calcular determinants superiors. Per calcular un determinant 5x5, doncs, s'hauran de calcular 5 determinants 4x4, que al seu torn exigiran el càlcul de 4 determinants 3x3, i així successivament. Vegeu, doncs, que el mètode és prou lent i molest com per que l'ús de calculadores potents sigui totalment indispensable.