Método general para el cálculo de determinantes

Como sabemos, el cálculo de un determinante $3 \times 3$ es bastante largo. El número de operaciones es elevado, y más lo será cuando deban calcularse determinantes $4 \times 4$ o incluso mayores.

También sabemos que la regla de Sarrus es válida únicamente para el cálculo de determinantes $3 \times 3$ . Veamos ahora un método más general.

Empecemos con algunos ejemplos de determinantes $3 \times 3$ para ver si tu intuición te ayuda a encontrar la regla general para el cálculo de determinantes.

Ejemplo

$| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} 4 & 5 \\ 0 & 2 \end{matrix} | - 0 \cdot | \begin{matrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} | + 2 \cdot | \begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix} | =$

$= 1 \cdot (4 \cdot 2 - 5 \cdot 0) - 0 + 2 \cdot (2 \cdot 0 - 4 \cdot 1) = 8 - 0 - 8 = 0$

Ejemplo

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | - 2 \cdot | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | + 3 \cdot | \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} | =$

$= 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = - 3 + 12 - 9 = 0$

Como se ve el procedimiento es sencillo. El determinante de una matriz es la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos.

En estos dos casos resueltos, se ha elegido la primera fila y se ha multiplicado cada uno de sus elementos por su correspondiente adjunto.

Ejemplo

Veamos el mismo ejemplo y vayamos paso a paso:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$

Se elige una fila, por ejemplo, la primera $(123)$ , y empezamos con el primer elemento: $1$ .
Se calcula su adjunto.

$| \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ / 4 & 5 & 6 \\ / 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6 = - 3$

(no debemos cambiar el signo, puesto que $1 + 1 = 2$ , que es par).

Multiplico el término elegido, o sea $1$ , por su adjunto correspondiente.

$1 \cdot | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) = - 3$

Y así sucesivamente con los siguientes elementos.

Se elige el segundo término, o sea el $2$ .
Se calcula su adjunto.

$| \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ 4 & / 5 & 6 \\ 7 & / 8 & 9 \end{matrix} |$

No debe olvidarse el signo menos!!! ( $1 + 2 = 3$ , que es impar).

$- 2 \cdot | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | = - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) = 12$

Elijo el último término y repito el proceso, ahora con el signo positivo.

$| \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ 4 & 5 & / 6 \\ 7 & 8 & / 9 \end{matrix} | = 3 \cdot | \begin{matrix} 4 \\ 7 & 8 \end{matrix} | = 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 3 \cdot (- 3) = - 9$

Finalmente sumo los tres casos. En este ejemplo el resultado es cero.

En resumen:

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = | \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ / 4 & 5 & 6 \\ / 7 & 8 & 9 \end{matrix} | - | \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ 4 & / 5 & 6 \\ 7 & / 8 & 9 \end{matrix} | + | \begin{matrix} / 1 & / 2 & / 3 \\ 4 & 5 & / 6 \\ 7 & 8 & / 9 \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | - 2 \cdot | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | + 3 \cdot | \begin{matrix} 4 \\ 7 & 8 \end{matrix} |$

y utilizando lo que sabemos para los determinantes $2 \times 2$ resolvemos este caso.

Reglas para el cálculo de determinantes superiores

Para hacerlo se sigue mismo método. Se multiplican los componentes de una fila por sus adjuntos correspondientes. Eso es:

$| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = | \begin{matrix} / 1 & / 0 & / 2 & / 1 \\ / 0 & 3 & 2 & 1 \\ / 2 & 4 & 1 & 2 \\ / 3 & 1 & 0 & 2 \end{matrix} | - | \begin{matrix} / 1 & / 0 & / 2 & / 1 \\ 0 & / 3 & 2 & 1 \\ 2 & / 4 & 1 & 2 \\ 3 & / 1 & 0 & 2 \end{matrix} | + | \begin{matrix} / 1 & / 0 & / 2 & / 1 \\ 0 & 3 & / 2 & 1 \\ 2 & 4 & / 1 & 2 \\ 3 & 1 & / 0 & 2 \end{matrix} | - | \begin{matrix} / 1 & / 0 & / 2 & / 1 \\ 0 & 3 & 2 & / 1 \\ 2 & 4 & 1 & / 2 \\ 3 & 1 & 0 & / 2 \end{matrix} |$

Como en el caso de determinantes $3 \times 3$ esto se reduce a multiplicar cada elemento de la primera fila por los determinantes de "lo que queda sin tachar", sin olvidarnos del signo que corresponda. Eso es,

$| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} | - 0 \cdot | \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix} | + 2 \cdot | \begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} | - 1 \cdot | \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix} |$

Resolviendo pues cuatro determinantes $3 \times 3$ y utilizando la expresión anterior podría calcularse el determinante de la matriz $4 \times 4$ .

Este mismo método podrá utilizarse para calcular determinantes superiores. Para calcular un determinante $5 \times 5$ pues, se deberán calcular $5$ determinantes $4 \times 4$ , que a su vez exigirán el cálculo de $4$ determinantes $3 \times 3$ , y así sucesivamente. Véase, pues, que el método es lo suficientemente lento y engorroso como para que el uso de calculadoras potentes sea totalmente indispensable.