Resolver una ecuación exponencial por reducción a igual base

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

$a^{0} = 1$ para cualquier $a$ .
Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir:

$2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$

Para cualquier $a \neq 0$ y $a \neq 1$ se tiene que: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando en ambos lados de la ecuación exponencial a resolver se tienen potencias de la misma base. En este caso se procede reduciendo ambos lados de la ecuación a la misma base y modificando como le corresponde a los exponentes hasta alcanzar una igualdad de bases, hecho que permite igualar los exponentes.

Ejemplo

$2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$

En la parte izquierda de la igualdad sacamos factor común de $2^{x}$ , y en la parte derecha lo dejamos igual por el momento. Así pues,

$2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28 es los mismo que 2 \cdot 2^{x} + 2^{x} + \frac{2^{x}}{2} = 28 \Rightarrow 2^{x} (2 + 1 + \frac{1}{2}) = 28$

Ahora realizamos las operaciones y aislamos el $2^{x}$ :

$2^{x} (2 + 1 + \frac{1}{2}) = 28 \Rightarrow 2^{x} \cdot \frac{7}{2} = 28 \Rightarrow 2^{x} = \frac{28 \cdot 2}{7} = 8 = 2^{3}$

Ya tenemos la misma base en los dos lados de la igualdad, de manera que podemos igualar los exponentes y así:

$2^{x} = 2^{3} \Rightarrow x = 3$

que es la solución que buscábamos.

Ejemplo

$4^{x} = 8^{2 x - 3} \Rightarrow 2^{2 x} = 2^{3 (2 x - 3)} \Rightarrow 2 x = 3 (2 x - 3) \Rightarrow 4 x = 9 \to x = \frac{9}{4}$

Ejemplo

Para construir una ecuación de esta forma con solución se puede hacer con el proceso inverso.

Escogemos una base, por ejemplo $3$ . Nos inventamos una ecuación de primer grado:

$5 (x + \frac{4}{7}) = 21$

y la escribimos como exponente de tal base:

$3^{5 (x + \frac{4}{7})} = 3^{2} 1$

Ahora podemos intentar escribir lo mismo de distinta forma para que se tengan que hacer unos cuantos cálculos antes de llegar a la misma base, por ejemplo una posibilidad sería:

$3^{5 (x + \frac{4}{7})} = 3^{5 x} \cdot 3^{\frac{5 \cdot 4}{7}} = 243^{x} \sqrt[7]{3^{20}} 3^{21} = 3^{17 + 4} = 3^{5 \cdot 3 + 2} \cdot 3^{4} = 9 \cdot (3^{5})^{4} \cdot \frac{3^{8}}{3^{4}}$

que en igualarlos nos dará la siguiente ecuación:

$243^{x} \cdot \sqrt[7]{3^{20}} = 9 \cdot (3^{5})^{3} \cdot \frac{3^{8}}{3^{5}}$

Hay muchas combinaciones posibles para ecuaciones con la misma solución.