Resolver una ecuación exponencial por cambio de variable

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

$a^{0} = 1$ para cualquier $a$ .
Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$
Para cualquier $a \neq 0$ y $a \neq 1$ se tiene que: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación es del tipo $f (a^{x}) = 0$ se utiliza el cambio de variable $t = a^{x}$ y se resuelve la ecuación de primer o segundo orden que aparece. Siempre que se quiera aplicar este caso debe asegurarse que $a \neq 0$ y $a \neq 1$ .

Ejemplo

$2 - 3^{- x} + 3^{x + 1} = 0$ es de este tipo puesto que $f (3^{x}) = 2 - 3^{- x} + 3^{x + 1} = 0$

Usamos tal y como hemos dicho el cambio de variable $t = 3^{x}$ .

Entonces: $2 - (3^{x})^{- 1} + 3 \cdot 3^{x} = 2 - t^{- 1} + 3 \cdot t = 0$

Dado que estamos seguros que $t$ no es cero (porque no existe ningún $x$ tal que $3^{x}$ sea cero) no hay problema en que exista una $t$ en el denominador. Multiplicando toda expresión por $t$ obtenemos: $2 - t^{- 1} + 3 \cdot t = 0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{- 1} + 3 \cdot t \cdot t = 2 t - 1 + 3 t^{2} = 0$ que es una ecuación de segundo grado en la variable $t$ .

La resolvemos: $t = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3} = - 2 \pm \frac{\sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6} =$ $= \frac{- 2 \pm 4}{6} = {\begin{cases} t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ t = \frac{- 6}{6} = - 1 \end{cases}$

Como es de segundo grado, obtenemos dos soluciones, deshaciendo el cambio para cada una tenemos: $\begin{array}{rcl} t = \frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^{x} = \frac{1}{3} \\ t = - 1 & \Rightarrow & 3^{x} = - 1 \end{array}}$ pero $3^{x}$ no puede ser nunca negativo de manera que no existe solución para $t = - 1$ . Ahora solo tenemos una solución que es: $3^{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \log_{3} (\frac{1}{3}) = \log_{3} 1 - \log_{3} 3 = 0 - 1 = - 1$

Ejemplo

$5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} - 15 = 0$ Utilizamos el cambio de variable $5^{x} = t$ : $t^{2} - 2 t - 15 = 0$ Se resuelve la ecuación de segundo grado y se tiene: $t = 5 y t = - 3$ por lo tanto $x = \log_{5} 5$ y la otra solución no se considera puesto que $x = \log_{5} (- 3)$ no tiene sentido.

Ejemplo

Imaginemos que queremos construir nosotros una ecuación que se resuelva de esta manera. Una manera de proceder es, tomar una ecuación de segundo grado $3 t^{2} - t - 4 = 0$ que tiene soluciones $t = \frac{4}{3}$ , $t = - 1$ y escogemos una base para considerar el cambio $t = 7^{x}$ , por ejemplo. Así sustituyendo en la ecuación se tiene: $3 \cdot (7^{x})^{2} - (7^{x}) - 4 = 0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2 x} - 7^{x} - 4 = 0$