Resoldre una equació exponencial per canvi de variable

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

$a^{0} = 1$ per a qualsevol $a$ .
Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$
Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a \neq 1$ tenim que: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan l'equació és del tipus $f (a^{x}) = 0$ s'utilitza el canvi de variable $t = a^{x}$ i es resol l'equació de primer o segon ordre que apareix. Sempre que es vulgui aplicar aquest cas s'ha d'assegurar que $a \neq 0$ i $a \neq 1$ .

Exemple

$2 - 3^{- x} + 3^{x + 1} = 0$ és d'aquest tipus ja que $f (3^{x}) = 2 - 3^{- x} + 3^{x + 1} = 0$

Utilitzem tal com hem dit el canvi de variable $t = 3^{x}$ .

Llavors: $2 - (3^{x})^{- 1} + 3 \cdot 3^{x} = 2 - t^{- 1} + 3 \cdot t = 0$

Atès que estem segurs que $t$ no és zero (perquè no hi ha cap $x$ tal que $3^{x}$ sigui zero) no hi ha problema en que hi hagi una $t$ en el denominador. Multiplicant tota expressió per $t$ obtenim: $2 - t^{- 1} + 3 \cdot t = 0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{- 1} + 3 \cdot t \cdot t = 2 t - 1 + 3 t^{2} = 0$ que és una equació de segon grau en la variable $t$ .

La resolem: $t = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3} = - 2 \pm \frac{\sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{6} =$ $= \frac{- 2 \pm 4}{6} = {\begin{cases} t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ t = \frac{- 6}{6} = - 1 \end{cases}$

Com és de segon grau, obtenim dues solucions, desfent el canvi per a cada una tenim: $\begin{array}{rcl} t = \frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^{x} = \frac{1}{3} \\ t = - 1 & \Rightarrow & 3^{x} = - 1 \end{array}}$ però $3^{x}$ no pot ser mai negatiu de manera que no hi ha solució per $t = - 1$ . Ara només tenim una solució que és: $3^{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \log_{3} (\frac{1}{3}) = \log_{3} 1 - \log_{3} 3 = 0 - 1 = - 1$

Exemple

$5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x} - 15 = 0$ Utilitzem el canvi de variable $5^{x} = t$ : $t^{2} - 2 t - 15 = 0$ Es resol l'equació de segon grau i obtenim: $t = 5 i t = - 3$ per tant $x = \log_{5} 5$ i l'altra solució no es considera donat que $x = \log_{5} (- 3)$ no té sentit.

Exemple

Imaginem que volem construir nosaltres una equació que es resolgui d'aquesta manera. Una manera de procedir és, prendre una equació de segon grau $3 t^{2} - t - 4 = 0$ que té solucions $t = \frac{4}{3}$ , $t = - 1$ i escollim una base per considerar el canvi $t = 7^{x}$ , per exemple. Així substituint en l'equació es té: $3 \cdot (7^{x})^{2} - (7^{x}) - 4 = 0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2 x} - 7^{x} - 4 = 0$