Introducció a l'equació exponencial

Tenim les tècniques suficients per saber resoldre problemes del tipu $a^{b} = c$ , on $a, b$ i $c$ són nombres reals, amb $c$ per determinar.

Exemple

Per exemple, volem saber quant val $3^{3}$ , però això és multiplicar $3$ per ell mateix $3$ vegades, així doncs és $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

A aquests termes se'ls anomena potències.

Ara anem a introduir el mateix tipus de càlculs per a resoldre potències però amb el terme $b$ per determinar, és a dir, quan la incògnita està a l'exponent. Anomenem a això funció exponencial.

Una equació exponencial es caracteritza perquè en algun dels seus membres hi ha una funció exponencial. Per tant per solucionar es necessita una base sòlida en resolució d'expressions del tipus exponencial, és a dir, per exemple:

Exemple

$5^{a} = 8 \Rightarrow \log_{5} 5^{a} = \log_{5} 8 \Rightarrow a = \log_{5} 8$ Recordem-ho pas a pas:

Volem trobar $a$ de manera que compleixi: $6^{a} = 24$ Aplicant logaritmes primer a l'esquerra de la igualtat tenim $\log_{6} 6^{a} = a \cdot \log_{6} 6 = a \cdot 1 = a$ Mentre que a la dreta ens queda: $\log_{6} 24 = \log_{6} (6 \cdot 4) = \log_{5} 6 + \log_{6} 4 = 1 + \log_{6} 4$ Per tant la nostra igualtat ara ens resulta que: $a = 1 + \log_{6} 4$

Com hem dit, la funció exponencial és aquella en què la variable està en l'exponent d'una potència. És a dir, per exemple una igualtat del tipus: $a^{x} = b$ on $a$ i $b$ són coneguts i $x$ és variable per determinar. Aquestes utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

En una expressió del tipus $a^{x} = b$ es donen els següents noms als elements que apareixen:

$a$ és la base de la potència
$x$ és l'exponent
$b$ és la potència

La seva solució, com s'ha esmentat anteriorment és $x = \log_{a} b$ on els elements que apareixen es designen com:

$x$ és el logaritme
$a$ és la base del logaritme
$b$ és el nombre del qual calculem el logaritme

Recordatori:

$a^{0} = 1$ per a qualsevol $a$
Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a \neq 1$ es té que: $a^{x} = b ⟹ x = \log_{a} b$

Procedint mitjançant aquestes dues normes i amb el coneixement de resolució de les operacions combinades ja es poden resoldre equacions amb termes que incloguin una funció exponencial.

Exemple

$\frac{(17 + 3)}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{2^{2}} + 3$

La jerarquia de les operacions combinades es regeix pel següent ordre.

Primer: s'efectuen els càlculs que són dins de parèntesis, claudàtors i claus.
Segon: es calculen les potències i arrels.
Tercer: s'efectuen els productes i quocients.
Quart: es realitzen les sumes i les restes.

Per tant primer es resol el parèntesi $(17 + 3) = 20$ Reescrivint s'obté $\frac{(17 + 3)}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{2^{2}} + 3$ Es calculen les potències, excepte la de $5^{x}$ atès que hi ha la incògnita a determinar. Ens queda $2^{2} = 4$ pel que es té: $\frac{20}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{4} + 3$ Es fan els productes i quocients $10 + 3^{3} \cdot 5^{x} - 7 = 3 + 3$ Realitzant les sumes i restes s'obté $3 \cdot 5^{x} = 3 + 3 + 7 - 10 = 3 ⟹ 5^{x} = \frac{3}{3} = 1$ Per tant el resultat és $x = \log_{5} 1$

Per crear un exercici d'aquest tipus cal tenir en compte que si volem que la solució existeixi, tots els logaritmes que apareguin han de ser de nombres positius. Això és degut a que no hi ha cap nombre $x$ tal que $a^{x} = 0$ ja que si apliquem logaritmes, $x = \log 0$ tampoc pot existir.

És per això, que quan es vol una equació amb solució, un procediment que ens la assegura és començar amb la solució i fer el camí invers. És a dir, per exemple:

Exemple

$x = \log_{3} 21 3^{x} = 3^{\log_{3} 21} = 21$

Ja tenim una equació exponencial que té solució: $3^{x} = 21$ , que si es vol complicar es pot acabar de complementar, com ara: $3^{x} = 21 \Rightarrow 3^{x} = 50 - 21 = 2 \cdot 5^{2} - (7 \cdot + 2^{3}) \Rightarrow 3^{x} - 2 \cdot 5^{2} = - (7 \cdot 3 + 2^{3})$ que segueix sent el mateix però requereix uns primers passos addicionals de càlcul d'operacions combinades, ja que només hem descomposat el $21$ en la diferència de dos nombres que després hem descomposat en producte de primers.