Introducción a la ecuación exponencial

Tenemos las técnicas suficientes para saber resolver problemas del tipo $a^{b} = c$ , donde $a, b$ y $c$ son números reales, con $c$ por determinar.

Ejemplo

Queremos saber cuanto es $3^{3}$ , pero esto es multiplicar $3$ por él mismo $3$ veces, así pues es $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

A éstos términos se les llama potencias.

Ahora se van a introducir el mismo tipo de cálculos para resolver potencias pero con el término $b$ para determinar, es decir, cuando la incógnita está en el exponente a lo que se le llama función exponencial.

Una ecuación exponencial se caracteriza porque en alguno de sus miembros hay una función exponencial. Por lo tanto para solucionarlas se necesita una base sólida en resolución de expresiones del tipo exponencial, es decir, por ejemplo:

Ejemplo

$5^{a} = 8 \Rightarrow \log_{5} 5^{a} = \log_{5} 8 \Rightarrow a = \log_{5} 8$ Recordémoslo paso a paso:

Queremos encontrar $a$ de manera que cumpla: $6^{a} = 24$ Aplicamos logaritmos, primero a la izquierda de la igualdad tenemos: $\log_{6} 6^{a} = a \cdot \log_{6} 6 = a \cdot 1 = a$ Mientras que a la derecha nos quedará: $\log_{6} 24 = \log_{6} (6 \cdot 4) = \log_{5} 6 + \log_{6} 4 = 1 + \log_{6} 4$ Por lo tanto nuestra igualdad ahora nos resulta que: $a = 1 + \log_{6} 4$

Como se ha dicho, la función exponencial es aquella en la que la variable está en el exponente de una potencia. Es decir, por ejemplo una igualdad del tipo: $a^{x} = b$ donde $a$ y $b$ son conocidos y $x$ es variable por determinar. Éstas utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica.

En una expresión del tipo $a^{x} = b$ se dan los siguientes nombres a los elementos que aparecen:

$a$ es la base de la potencia
$x$ es el exponente
$b$ es la potencia

Su solución, como se ha mencionado anteriormente es $x = \log_{a} b$ donde los elementos que aparecen se designan como:

$x$ es el logaritmo
$a$ es la base del logaritmo
$b$ es el número del cual calculamos el logaritmo

Recordatorio:

$a^{0} = 1$ para cualquier $a$
Para cualquier $a \neq 0$ y $a \neq 1$ se tiene que: $a^{x} = b ⟹ x = \log_{a} b$

Procediendo mediante estas dos normas y con el conocimiento de resolución de las operaciones combinadas ya se pueden resolver ecuaciones con términos que incluyan una función exponencial.

Ejemplo

$\frac{(17 + 3)}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{2^{2}} + 3$

La jerarquía de las operaciones combinadas se rige por el siguiente orden.

Primero: se efectúan los cálculos que están dentro de paréntesis, corchetes y llaves.
Segundo: se calculan las potencias y raíces.
Tercero: se efectúan los productos y cocientes.
Cuarto: se realizan las sumas y las restas.

Por lo tanto primero se resuelve el paréntesis $(17 + 3) = 20$ Reescribiendo se obtiene $\frac{(17 + 3)}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{2^{2}} + 3$ Se calculan las potencias, excepto la de $5^{x}$ dado que está la incógnita a determinar. Nos queda $2^{2} = 4$ por lo que se tiene: $\frac{20}{2} + 3 \cdot 5^{x} - 7 = \frac{12}{4} + 3$ Se efectúan los productos y cocientes $10 + 3^{3} \cdot 5^{x} - 7 = 3 + 3$ Realizando las sumas y restas se obtiene $3 \cdot 5^{x} = 3 + 3 + 7 - 10 = 3 ⟹ 5^{x} = \frac{3}{3} = 1$ Por lo tanto el resultado es $x = \log_{5} 1$

Para crear un ejercicio de este tipo hay que tener en cuenta que si queremos que la solución exista, todos los logaritmos que aparezcan deben ser de números positivos. Esto es debido a que no existe ningún número $x$ tal que $a^{x} = 0$ dado que si aplicamos logaritmos, $x = \log 0$ tampoco puede existir.

Es por eso, que cuando se quiere una ecuación con solución, un procedimiento que nos la asegura es empezar con la solución y hacer el camino inverso. Esto es, por ejemplo:

Ejemplo

$x = \log_{3} 21 3^{x} = 3^{\log_{3} 21} = 21$

Ya tenemos una ecuación exponencial que tiene solución: $3^{x} = 21$ , que si se quiere complicar se puede acabar de complementar, como por ejemplo: $3^{x} = 21 \Rightarrow 3^{x} = 50 - 21 = 2 \cdot 5^{2} - (7 \cdot + 2^{3}) \Rightarrow 3^{x} - 2 \cdot 5^{2} = - (7 \cdot 3 + 2^{3})$ que sigue siendo lo mismo pero requiere unos primeros pasos adicionales de cálculo de operaciones combinadas, ya que solo hemos descompuesto el $21$ en la diferencia de dos números que luego hemos descompuesto en producto de primeros.