Resolver una ecuación exponencial por logaritmos

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

$a^{0} = 1$ para cualquier $a$ .
Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$
Para cualquier $a \neq 0$ y $a \neq 1$ se tiene que: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación exponencial a resolver es del tipo $a^{f (x)} = b$ entonces se puede resolver por logaritmación de ambos lados si ambos miembros son positivos. Es decir, simplemente se aplican las propiedades del logaritmo para encontrar cuanto vale $f (x)$ .

Ejemplo

$2^{x + 1} = 6^{\frac{3 x}{2}}$

Aplicando logaritmos:

$\log_{2} (2^{x + 1}) = \log_{2} (6^{\frac{3 x}{2}})$

Ahora mediante las propiedades del logaritmo,

$\log_{2} (2^{x + 1}) = \log_{2} (6^{\frac{3 x}{2}}) \Rightarrow \log_{2} (2)^{x + 1} = \log_{2} (6)^{\frac{3 x}{2}} \Rightarrow (x + 1) \log_{2} 2 = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6$

$\Rightarrow (x + 1) = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6$

Hemos pues convertido la ecuación exponencial en una ecuación de primer grado que sabemos resolver. Esto es, aislando la $x$ obtenemos:

$(x + 1) = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6 \Rightarrow x - \frac{3 \cdot \log_{2} 6}{2} x = - 1 \Rightarrow x (1 - \frac{3 \cdot \log_{2} 6}{2}) = - 1 \Rightarrow$

$x = \frac{- 2}{2 - 3 \cdot \log_{2} 6}$

Ejemplo

$5^{2 x - 1} = 7^{3 - x} \Rightarrow 2 x - 1 = \log_{5} (7^{3 - x}) = (3 - x) \log_{5} 7 \Rightarrow x = \frac{3 \log_{5} 7 + 1}{2 + \log_{5} 7}$