Resoldre una equació exponencial per logaritmes

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

$a^{0} = 1$ per a qualsevol $a$ .
Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $2^{a} = 2^{b} \Leftrightarrow a = b$
Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a \neq 1$ tenim que: $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan l'equació exponencial a resoldre és del tipus $a^{f (x)} = b$ llavors es pot resoldre per logaritmació d'ambdós costats si tots dos membres són positius. És a dir, simplement s'apliquen les propietats del logaritme per trobar quant val $f (x)$ .

Exemple

$2^{x + 1} = 6^{\frac{3 x}{2}}$

Aplicant logaritmes:

$\log_{2} (2^{x + 1}) = \log_{2} (6^{\frac{3 x}{2}})$

Ara mitjançant les propietats del logaritme,

$\log_{2} (2^{x + 1}) = \log_{2} (6^{\frac{3 x}{2}}) \Rightarrow \log_{2} (2)^{x + 1} = \log_{2} (6)^{\frac{3 x}{2}} \Rightarrow (x + 1) \log_{2} 2 = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6$

$\Rightarrow (x + 1) = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6$

Ja hem convertit l'equació exponencial en una equació de primer grau que sabem resoldre. És a dir, aïllant la $x$ obtenim:

$(x + 1) = \frac{3 x}{2} \log_{2} 6 \Rightarrow x - \frac{3 \cdot \log_{2} 6}{2} x = - 1 \Rightarrow x (1 - \frac{3 \cdot \log_{2} 6}{2}) = - 1 \Rightarrow$

$x = \frac{- 2}{2 - 3 \cdot \log_{2} 6}$

Exemple

$5^{2 x - 1} = 7^{3 - x} \Rightarrow 2 x - 1 = \log_{5} (7^{3 - x}) = (3 - x) \log_{5} 7 \Rightarrow x = \frac{3 \log_{5} 7 + 1}{2 + \log_{5} 7}$