Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.
Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:
- $$a^0=1$$ per a qualsevol $$a$$.
- Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
- Per a qualsevol $$a \neq 0$$ i $$a\neq 1$$ tenim que: $$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$
Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.
Quan tenim una equació del tipus $$a^{f(x)}=1$$ amb $$a\neq 0$$ i $$a\neq 1$$. Llavors es procedeix amb les propietats de les potències que ens diuen que $$f(x)=0$$ atès que l'únic exponent que per a qualsevol base dóna $$1$$ és el zero.
$$$10^{x^2+-2}=1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=1$$$ i $$$x=-2$$$ on hem utilitzat que l'únic exponent que fa que una potència doni $$1$$ és el zero, per a qualsevol base.
Per a construir una d'aquest tipus, és suficient elevar una base qualsevol a una equació i igualar-la a $$1$$. Per exemple, escollint base $$8$$ i equació $$$3x^2-9$$$ obtenim: $$$8^{3x^2-9}=1$$$ que és resoldrà $$$3x^2-9=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{\pm\sqrt{-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\frac{\pm6\sqrt{3}}{6}=\pm \sqrt{3}$$$